Ich poste mal meine Lösung, bitte kommentieren.
Aufgabe 1.
Teilaufgabe a)
Formel:
E[y] = 0,6 * y+ + 0,4 * y-
Berechnung:
E[y] = 0,6 * 1,6 + 0,4 * 1,0 = 1,36 > R
Antwort: Das Projekt ist gemessen am Erwartungswert sinnvoll.
Teilaufgabe b)
Formel:
E[z(y)] = 0,6 * z(y+) + 0,4 * z(y-)
Berechnung:
E[z(y)] = 0,6 * 1,5 + 0,4 * 1,0 = 1,3 > R
Antwort: Die erwartete Rückzahlung des Kontraktes aus Sicht des Kapitalgebers beträgt 1,3 und ist somit höher als die Bruttomarktrendite (1,12). Sodass die Kapitalgeber den Kontrakt akzeptieren.
Teilaufgabe c)
Teilaufgabe d)
Die optimale Straffunktion sieht folgendermaßen aus:
1,5-1,0 = 0,5 für z = 1,0 ← → y’ = < y- = 1
0 für z = 1,5 ← → y’ = < y+ = 1,6
Die erwartete Strafe beträgt somit:
E[Ø(z(y))] = 0,6 Ø(z(y+)) + 0,4 Ø(z(y-)) = 0,6 * 0 + 0,4 * 0,5 = 0,2
Unter Berücksichtung der Strafe verbleibt dem Unternehmen eine erwartete Zahlung von:
E[y] - E[z(y)] - E[Ø(z(y))] = 1,36 - 1,3 - 0,2 = -0,14 < 0
Der Wert ist kleiner Null und das Unternehmen wird das Projekt nicht durchführen.
E[y] - E[Ø(z(y))] = 1,36 - 0,2 = 1,16 > R
Die Gesamtrückzahlung ist größer als die Bruttomarktrendite.Die Kapitalgeber würden den Kontrakt akzeptieren.
Antwort:
Somit ist die Straffunktion geeignet das Problem zu lösen.
Teilaufgabe e)
Frage 1:
Projekt wird durchgeführt wenn:
E[y] - m * c >= R
Berechnung:
R = 1,12
1,36 - 1 * 0,05 = 1,31 > R
Somit ist das Problem durch Monitoring lösbar.
Frage 2:
Ausgangsformel:
E[z(y)] = 0,6 * z(y+) + 0,4 * z(y-)
Gesucht: z(y+)
Berechnung:
z(y-) = y- - c = 1,0 - 0,05 = 0,95
0,6 * z(y+) + 0,4 * 0,95 >= R = 1,12
→ z(y+) >= (1,12 - 0,4 * 0,95 ) / 0,6 = 1,2333
Insgesamt gilt 1,2333 <= z(y+) <= 1,55
Antwort:
Der Kapitalgeber verlangt (inkl. der Erstattung der Monitoring-Kosten) mindestens (minimale Rückzahlung) von 1,2333 GE.
Teilaufgabe f)
Das Monitoring ist praktikabel, wenn
E[y] - m * c >= R
Berechung :
m = 10
c = 0,05
1,36 - 10 * 0,05 = 086 < R
Antwort:
Somit ist das Monitoring bei diesem Projekt mit 10 Kapitalgebern, die jeweils 0,1 GE bereitstellen nicht praktikabel.
Teilaufgabe g)
Teilaufgabe h)
Berechnung der erwarteten Rückzahlungen für die Unternehmer
Formel:
0,6(y+ - z(y+) -c ) + 0,4(y- - z(y-) -c )
Berechnung:
0,6 * (1,6 - 1,54 - 0,05) + 0,4 * ( 1 - 0,95 - 0,05) = 0,006 > 0
Somit sind die Kontrakte für die Unternehmer vorteilhaft.
Teilaufgabe i)
Formeln:
k = erfolgreiche Projekte
n = Anzahl der Projekte
Rückzahlung Z = k z(y+) + (n-k) z(y-)
Wahrscheinlichkeit: 0,5^n * (n über k)
Berechnung:
Anzahl erfolgreicher Projekte
Anzahl nicht erfolgreicher Projekte
Wahrscheinlichkeit
Gesamtrückzahlung Z
3
0
0,125
4,5
2
1
0,375
4
1
2
0,375
3,5
0
3
0,125
3
Teilaufgabe j)
Rückzahlung ž = 0,342 GE
Formel und Berechnung
z = Z / 10 = 3 / 10 = 0,3
Bei 3, 2 oder 1 erfolgreichen Projekt ist die Gesamtrückzahlung Z > 3,42,
Die erwartete Rückzahlung der Kapitalgeber beträgt:
0,875 * 0,342 + 0,125 * 0,3 = 0,33675 GE
Die erwartete Bruttorendite beträgt 0,33675/0,3 - 1 = 12,25%
Damit ist die Bruttorendite um 0,25% größer als die Bruttomarktrendite von 12%.
Dem Finanzintermediär verbleibt in den 3 günstigen Fällen:
Anzahl erfolgreicher Projekte
Z Gesamtrückzahlung
Ž Zahlung an Kapitalgeber
Formel: Z - Ž
Restbetrag
3
4,5
3,42
1,08
2
4
3,42
0,58
1
3,5
3,42
0,08
Im ungünstigen Fall muss der Finanzintermediär eine Strafe von
Ø(z) = ž - z bezahlen
Berechnung:
3,42 - 3 = 0,42 GE
Insgesamt beträgt der Erwartungswert:
0,125 * 1,08 + 0,375 * 0,58 + 0,375 * 0,08 - 0,125 * 0,42 = 0,33
Daraus ergibt sich, dass die Kontrakte für die Kapitalgeber, sowie dem Finanzintermediär vorteilhaft sind. Alle werden den Kontrakt akzeptieren.