Meine Einschätzung zur Sachlage:
Sofern die Daten stimmen und bisher nichts unternommen wurden ist, dann hat deine Verwandte keinen Anspruch auf Beschäftigung oder ggf. Abfindung, weil die Kündigungsfrist von 3 Wochen (3 Wochen nach Erhalt der Kündigung MUSS Klage erhoben werden) abgelaufen.
Einen Anspruch auf Ersattung der Reisekosten kann man jetzt auch nicht pauschal beantworten. War eine Rückfahrt nicht mehr zumutbar aufgrund der Entfernung? Die Spritkosten kann V auf jeden Fall ersetzt bekommen. Zu achten ist aber auf eine Ausschlussklausel im Arbeitsvertrag, und ggf. auf die Wirksamkeit der Ausschlussklausel. Ich gehe stark davon aus, dass eine Ausschlussklausel vereinbart worden ist. Die müsstest du hier in seinem Wortlaut mal aufschreiben. Dasselbe gilt für etwaige Urlaubsansprüche. Die kann V, umgerechnet ca. 7,5 Tage, ausgezahlt verlangen.
PS: Grds. hätte deine Verwandte einen Anspruch auf Weiterbeschäftigung, bzw. auf eine Abfindung. In einer Abmahnung muss zwar grds. nicht auf eine mögliche Kündigung Bezug genommen werden, weil die Abmahnung an sich schon eine Warnung darstellen soll. Allerdings müssen schon triftige Gründe vorliegen, um ein befristetes Arbeitsverhältnis zu kündigen. Insbesondere wurde die Frist von dem Arbeitgeber nicht eingehalten, nach § 626 BGB ( 2 Wochen), sodass das Arbeitsgericht die fristlose in eine ordentliche Kündigung umwandeln würde. Zudem muss eine fristlose Kündigung begründet werden. Also grundsätzlich, ohne jetzt etwaige Gründe zu kennen, hätte V, sofern die Präklusionsfrist eingehalte wurde, gute Chance gegen den Arbeitgeber zu klagen.