Einsendeaufgaben EA-Besprechung SS 2017 EA1 42220 (06.07.2017)

Habe bereits erste Ergebnisse, falls jemand Vergleichen mag einfach melden
 
Die Klausur werde ich dieses Semester nicht schreiben, aber die Zulassung wollte ich mir schon mal erarbeiten. Hier meine Ergebnisse:

Aufgabe 1a)
$f_{x_1} (x_1, x_2) = - x^3_1 + 9 x_1 x_2$
$f_{x_2} (x_1, x_2) = 4,5 x^2_1 x_2 - 4,5 x^2_2$

Aufgabe 1b)
$f_{x_1 x_1} (x_1, x_2) = - 3x^2_1 + 9 x_2$
$f_{x_1 x_2} (x_1, x_2) = f_{x_2 x_1} (x_1, x_2) = 9 x_1$
$f_{x_2 x_2} (x_1, x_2) = -9 x_2$

Aufgabe 1c) Gewinn 2257,25

Aufgabe 1d) Gradient im Punkt ist nicht Null und damit ist der Punkt kein Extremum

Aufgabe 1e) Hier komme ich nicht weiter, weill ich keine drei kritischen Punkte errechnet bekomme. Nehme gerne Hilfestellung entgegen.

Aufgabe 1f)
min $f(r,h) = 2 \pi r^2 + 2 \pi rh$
unter der Nebenbedingung $\pi r^2 h - 2 = 0$

$L(r,h,\lambda) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h + \lambda (\pi r^2 h -2)$
$L_r(r,h,\lambda) = 4 \pi r + 2 \pi h + 2 \lambda \pi r h$
$L_h(r,h,\lambda) = 2 \pi r + \lambda \pi r^2$

Aufgabe 2a)
max $x_1 + 1,5 x_2$
unter den Nebenbedingungen
$2x_1 + 4x_2 \le 12 \quad (1)$
$3x_1 + 2x_2 \le 10 \quad (2)$
$x_1, x_2 \ge 0$

Aufgabe 2b) Optimimaler Punkt (2,2)

Aufgabe 2c)
Maximiere $x_1 + 1,5 x_2 + 2x_3$
u. d. N. $2x_1 + 4x_2 + 4x_3\le 12$
$3x_1 + 2x_2 + 4x_3\le 10$
$x_3 \le 3$
$x_1, x_2, x_3 \ge 0$

Optimale Lösung: $x_2 = 1$, $x_3 = 2$

Behauptung ist falsch. Max Gewinn bei nur einer Kette Deluxe ist 5.

Aufgabe 3:
a) wahr
b) wahr
c) falsch
d) falsch
 
Vorerst zu Aufgabe 1 (die anderen muss ich noch machen).
Bei Aufgabe 1a) hast du bei der Ableitung nach x2 ein x2 zu viel.

Bei e) habe ich die ersten beiden Ableitungen mit null gleich gesetzt und durch mehrmaliges einesetzen folgende drei kritische Punkte gefunden:
P1=(0,0)
P2=(9,9)
P3=(-9,9)
Bei der Prüfung auf Zulässigkeit habe ich diese Punkte in den Gradienten eingesetzt und wenn ein Nullvektor rauskommt, ist der Punkt zulässig. Alle drei Punkte sind zulässig.

Ein Problem habe ich aber an dieser Stelle. P1=(0,0) als kritischer Punkt ist mir nicht geheuer. Ich habe dunkel in Erinnerung, dass Nullpunkte als Extrema oder gar als kritische Punkte nicht zulässig sind. Finde aber auch keine Quellen hierfür im Skript. Entweder gibt es die nicht oder ich muss weitersuchen.
Wenn man mit der Hesse-Matrix prüfen möchte, ob der jeweilige Punkt ein Minimum oder Maximum ist, wird man bei P2 und P3 auf keine Probleme stoßen.
Bei P1 kriegt man jedoch eine Null-Matrix raus.
Soweit ich weiß, kann man bei einer Null-Matrix nicht einmal von einem Sattelpunkt sprechen, da die Prüfung nach der Definitheit (siehe KE1 S.33) hier keinerlei Aussagen zulässt. Man kann auch nicht sagen, dass die Null-Matrix indefinit ist.
Ich habe bereits nachrecherchiert und bin leider zu keinem Ergebnis gekommen. Mich wurmt die Aufgabe sehr, daher würde ich mich über eine Aufklärung wirklich freuen.

Beste Grüße
Gragaryn
 
Danke für die Erklärung und ja, bei 1c hatte ich auf dem Weg ein Minus verloren. Dein Ergebnis stimmt.
 
Gragaryn schrieb:
Ein Problem habe ich aber an dieser Stelle. P1=(0,0) als kritischer Punkt ist mir nicht geheuer. Ich habe dunkel in Erinnerung, dass Nullpunkte als Extrema oder gar als kritische Punkte nicht zulässig sind. Finde aber auch keine Quellen hierfür im Skript. Entweder gibt es die nicht oder ich muss weitersuchen.
Zum Vergrößern anklicken....
Wenn ich mir Übungsaufgabe 2.2.4 von KE1 anschaue, dann wird bei ii) gesagt, dass wegen det |0| = 0 das Kriterium nicht angewendet werden kann. Es kann weder gesagt werden, dass sie Nullmatrix positiv oder negativ definit ist noch dass sie indefinit ist. Damit kann m.E. für diesen Punkt keine Aussage gemacht werden.

Müssen wir überhaupt eine Definitheit angeben? Es ist doch nur nach der Zulässigkeit gefragt, oder?
 
Ja, du hast vermutlich recht. Wahrscheinlich ist das Wort "kritischer Punkt" das Entscheidende. Wenn man diese drei Punkte jedoch darauf prüfen muss, ob sie Extrema darstellen, greift deine Erklärung mit det |0|. Demzufolge würde ich sagen, dass die Funktion nur zwei lokale Extrema hat, aber drei kritische Punkte.
 
Hallo! Ich bin bisher soweit d'accor mit euren Antworten, zu 1e) habe ich jedoch eine Frage.
Durch das Setzen von fx2' = 0 ergibt sich bei mir x1 = 3*(x2)0,5 und x2 = x1.
Ich habe dann fx1' (x1, x1) gebildet und bin dann auf x1 = 0 und x1 = 9 gekommen.
Wenn ich nun x1 = 9 in fx2' einsetze, bekomme ich das Ergbnis P1 (9|9) und P2 (9|-9), also genau andersrum zu eurem Ergebnis. Ich denke, dass es damit zu tun hat, dass ich von x1 = x2 ausgehe.
Erkennt ihr meinen (Denk-)Fehler?
Danke!
 
Bin ich der Einzige, der bei 3D) nicht fxy(x,y) = fyx(x,y) hat?


EDIT: Ok jetzt hab ich's :p
 
Zuletzt bearbeitet:
Hallo,
ich habe bei Aufgabe 2c iii) Probleme mit dem Simplextableau. Bei mir kommt da nur quatsch raus. Könntet ihr mir Tipps gegen, wie ich da weiterkomme? Da ich momentan nicht zu Hause bin, kann ich mein Vorgehen gerade leider nicht posten.

Vielen Dank für eure Hilfe
LG
 
So ganz ohne Hinweis, an welcher Stelle Du hängst, macht es etwas schwer, Dir beim Simplex zu helfen. Kannst Du Deine Schwierigkeiten präzisieren?
 
Habe mich nochmal mit beschäftigt, hat sich jetzt erledigt, hatte das Pivot-Element falsch gewählt :hammer:

Trotzdem danke :)
 
Hallo!
Könnt ihr mir bitte den Rechenweg zur 1c) erklären. Ich steh grad auf dem Schlauch!
 
Bei Aufgabe 2 c) iii) komme ich irgendwie nicht auf vernünftige Ergebnisse.
Pivot Element ist 2, und nach Teilen der Pivot-Zeile durch 2 und Umformung der Spaltenwerte auf 0 ergibt sich für mich:

1 0,25 0 0 0,25 0,25 0 5,5
0 -0,5 1 0 0,5 -0,5 0 1
0 1 0 1 -0,25 0,5 0 2
0 -1 0 0 0,25 -0,5 1 1

Ist das falsch? Sehe nicht, wie ich auf die Lösung x2=1 und x3=2 kommen soll....
Danke und liebe Grüße!
 
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