Sonstige Aufgaben Duration - Probleme bei Berechnung

I

infernum

Da mein Thread bei studienservice leider nach dreimaligen Posten immer noch nicht angezeigt wird, erhoffe ich mir hier vllt. Hilfe.

Ich habe immer wieder Probleme beim Berechnen der Duration (selbst mit Musterlösung
frown.png
).
z.B. Klausur Sept. 2011 / Aufgabe 2e
warum wird dort die Rückzahlung nicht berücksichtigt?
Wenn ich die Duration mit einer Tabelle wie in KE4 / S. 35 berechne, komme ich auf eine Duration von 3,62... also nicht exakt auf 3,667 ....Rundungsfehler schließe ich eigentlich aus.
Wenn ich die Duration ohne Rückzahlung (über die Formel) berechne, dann komm ich auf 3,667.

Mich verwirrt es etwas, da ich das Gefühl habe, in jeder Klausur wird die Duration anders berechnet.
Mal mit Rückzahlung, mal mit Zinssatz (z.B. 6 anstatt 0,06), mal mit Tabelle

Was mir auch unklar ist, ist die Berechnung des absoluten Kursänderung (selbe Klausur --> Aufgabe 2e / iii ). Wie komm ich dort auf den Kurswert von 96,613 ?

Wäre nett, wenn jmd. Licht ins Dunkle bringen könnte.

Danke
 
warum wird dort die Rückzahlung nicht berücksichtigt?
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Wenn Du mal in KE4 auf S. 23 nachschaust, dann steht da welche Vereinfachung sie gewählt haben, um auf die Formel 3.11 auf S. 34 zu kommen.

Erst haben sie da auf Seite 23 die stinknormale Kapital-Barwert-Formel:
C0 = Zinszahlungen abgezinst + Rückzahlung abgezinst
= $\frac{Z}{1+r}$ + $\frac{Z}{(1+r)^2}$ + $\frac{Z}{(1+r)^3}$ + .... + $\frac{Z}{(1+r)^n}$+ $\frac{R}{(1+r)^n}$​

Dann machen sie einen kleinen Rechentrick:

Da:
z= Zinsatz der Anleihe, also der Nominalzins
Rückzahlungswert = R = Nominalwert
Z = Zinszahlung = Zinssatz∙Nominalwert = z∙Rückzahlungswert = z∙R
und R = Rückzahlungswert = Nominalwert​

Jetzt normieren sie den Kaufkurs C0 (= Kapital-Barwert) um den Nominalwert der Anleihe, d.h. sie teilen einfach die linke und die rechte Seite der obigen Gleichung durch R (nicht vergessen: Z = z∙R !):
C'0
= $\frac{C_0}{R}$
= $\frac{Z/R}{1+r}$ + $\frac{Z/R}{(1+r)^2}$ + $\frac{Z/R}{(1+r)^3}$ + .... + $\frac{Z/R}{(1+r)^n}$+ $\frac{R/R}{(1+r)^n}$
= $\frac{z}{1+r}$ + $\frac{z}{(1+r)^2}$ + $\frac{z}{(1+r)^3}$ + .... + $\frac{z}{(1+r)^n}$+ $\frac{1}{(1+r)^n}$​

Also ist auch in der Formel 3.11 von Seite 34 der Rückzahlungswert drinnen, das Ganze ist halt nur normiert, wie übrigens auch die Anleihenkurse, mit ihren 100%, 105% usw.

Will man da am Ende den "echten" Kaufkurs C0 in €, dann müßte man den per Formel 3.11 errechneten Kaufkurs noch mit dem Nominalwert = Rückkaufwert multiplizieren.

Wenn ich die Duration mit einer Tabelle wie in KE4 / S. 35 berechne, komme ich auf eine Duration von 3,62... also nicht exakt auf 3,667 ....Rundungsfehler schließe ich eigentlich aus.
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Rechne das bitte noch mal nach, ich komme bei Aufgabe 2. e) i) in Klausur SS 2012 mit der Formel 3.11 auf 3,666695452, was gerundet 3,667 ergibt.
Und sie benutzen ja in der Musterlösung die Formel 3.11 von KE4, S. 34, und mit der bin ich auf das Ergebnis gekommen.

Formel 3.11 für Lösung Klausuraufgabe.png

Wenn Du die Tabelle aus dem Beispiel 3.04 auf S. 25 KE4 meinst, die ist genau die Formel 3.11 (wenn sie nur nicht um den Nominalwert normiert wäre!).
Ist aber egal, da der Nominalwert im Zähler und Nenner vorkommt, und sich deswegen sowieso rauskürzen würde.

Daß sie in der Tabelle auf S. 35 Z als Überbegriff für Zins- und Tilgungszahlungen benutzen ist etwas unglücklich gelöst, da Z normalerweise anderswo im Skript (wie z.B. in Formel 3.01, S. 23, KE4) nur für die Zinszahlung steht.
Deswegen habe ich es unten in der Tabelle auch einfach nur Einzahlungen genannt, gekennzeichnet durch den Buchstaben E.

upload_2014-3-16_18-35-21.png

Und wenn du jetzt die beiden Zahlen teilst:

Duration = d = $\frac{354,2496731 €·Jahre}{96,61278874 €}$ = 3,666695452 Jahre = 3,667 Jahre

Was mir auch unklar ist, ist die Berechnung des absoluten Kursänderung (selbe Klausur --> Aufgabe 2e / ii ). Wie komm ich dort auf den Kurswert von 96,613 ?
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Tatsächliche Kursänderung:

Am Ende der 3-jährigen Laufzeit ist die Tilgung 100, der Nominalwert ist 100.
Es gibt eine jährliche Zinszahlung von 6% des Nominalwerts 100, also 6€ (die 6% vergißt man am besten jetzt sofort wieder, ja nicht verwechseln mit dem Marktzins!).

Jetzt zinst man den alle jährlichen Zinszahlungen von 6€ und den Endwert 100€ ab, um die Kaufkurse C0 (also den Kapital-Barwert, das ist ja der faire Preis der Anleihe) in Abhängigkeit der Zinssätze r zu berechnen:

C0(r=7%) = $\frac{6}{1,07^1}$ + $\frac{6}{1,07^2}$ + $\frac{6}{1,07^3}$ + $\frac{6}{1,07^4}$ + $\frac{100}{1,07^4}$ = 96,6127887€ = 96,613€
C0(r=6,5%) = $\frac{6}{1,065^1}$ + $\frac{6}{1,065^2}$ + $\frac{6}{1,065^3}$ + $\frac{6}{1,065^4}$ + $\frac{100}{1,065^4}$ = 98.2871007€ = 98,287€

→ $\Delta C_0$ = 98,287€ - 96,613€ = 1,674€
 
vielen Dank für die hilfreiche Erklärung.

Vermutlich habe ich doch noch Rundungsfehler in meiner Tabelle.... soviele Nachkommastellen habe ich nicht berechnet ;-)
Mit der Tabelle komme ich wesentlich besser zurecht, als mit der Formel.
 
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