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Einsendeaufgaben EA-Besprechung WS 2012/13 EA2 00049 (06.12.2012)
- Ersteller Antonio
- Erstellt am
Münchner Kindl
Tutorin und Forenadmin
Mein Lösungsvorschlag:
Aufgabe 1
D
E
****
Homogenität:
Q(λL, λC) = λh ∙ Q(L, C)
****
A ist falsch:
Q(λL, λC) = $ \frac{(λL)^2 (λC)^2 }{(λL)^3 + (λC)^3} = λ \frac{L^2 C^2 }{L^3 + C^3} $ = λ Q = λ1 Q
→ sie ist homogen vom Grade 1 = sie weist konstante Skalenerträge auf
****
B ist falsch:
Q(λL, λC) = 3(λL)2 + (λC)2 = λ2 (3L2 + C2) = λ2 Q
→ sie ist homogen vom Grade h=2
****
C ist falsch:
Q(λL, λC) = 3 λ0,5L0,5C0,5 + λL = λ (3L0,5C0,5 + L) = λ Q = λ1 Q
→ sie ist homogen, und zwar vom Grade 1
****
D ist richtig:
Q(λL, λC) = $ \alpha[\beta \lambda^{-\rho} l^{-\rho} + (1-\beta)c^{-\rho} \lambda^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}} $ = λ Q = λ1 Q
****
E ist richtig:
KE3, S. 42
u(x) = v(w(x)) ist eine homothetische Produktionsfunktion, falls:
Aufgabe 2
C
D
****
A ist falsch:
Q = $ \sqrt{10.000 L} = 100 \sqrt{L} = 100 L^{0,5} $
$ \frac{\partial Q}{\partial L} = 0,5·100·L^{-0,5} = 50·L^{-0,5} $
****
B ist falsch:
KE3 S. 16, 18, 20, 22
a) ist richtig
b) ist richtig
c) ist richtig
d) ist falsch. KE3 S. 79 Abbildung A 3.3-20: das ist eine kurzfristige Kostenkurve einer ertragsgesetzlichen Produktionsfunktion.
****
C ist richtig:
KE3, S. 28
Lineare Produktionsfunktion: Q = αL + βC
Jeder der Faktoren ist vollkommen substituirbar, d.h. daß z.B. Faktor L aus der Produktion sogar vollkommen verdrängt werden kann, man muß nur mehr von dem anderen Faktor C verwenden und man bekommt trotzdem die gleiche Produktmenge Q.
****
D ist richtig:
Falls die Ausgangskombination von Produktionsfaktoren effizient war, z.B. 4 Tischbeine und 1 Platte (soviel braucht man um einen Tisch zu bauen), dann ist auch ein Vielfaches davon effizient, z.B. 20 Tischbeine und 5 Platten (daraus kann man 5 ganze Tische bauen).
****
E ist falsch:
Hier wurde das Nachdifferenzieren bei der Kettenregel vergessen.
$ \frac{\partial Y}{\partial L} = e^{L^\alpha C^{1-\alpha}} \alpha L^{\alpha-1} $
Aufgabe 3
D
****
A ist falsch:
umgekehrt wäre es richtig
****
B ist falsch:
Gleichung umformen:
$ Q = L^\frac{6}{10} C^\frac{4}{10} │()^\frac{10}{6} $
⇔ $ Q^\frac{10}{6} = L C^{\frac{4}{10}\frac{10}{6}} $
⇔ $ Q^\frac{5}{3} C^{-\frac{2}{3}} = L $ Isoquante
Jetzt Steigung der Isoquante berechnen
Q = const. man berechnet die Isoquante für verschiedene Werte der Produktmenge Q:
$ \frac{dL}{dC} = -\frac{2}{3} Q^\frac{5}{3} C^{-\frac{5}{3}} $
****
C ist falsch:
KE3, S. 25
umgekehrt wäre es richtig:
$ \frac{dL}{dC} = - \frac{\frac{\partial Q}{\partial C}}{\frac{\partial Q}{\partial L}} $
****
D ist richtig:
Expansionspfad: geometrischer Ort aller Minimalkostenkombinationen der Produktionsfaktoren Arbeit L und Kapital C.
zu minimieren: Kosten = l·L + r·C mit l=Lohn(stunden)satz und r=Zins
Nebenbedingung: Q = 10 L0,8C0,2
→ Lagrange-Funktion aufstellen:
$ \Lambda = l·L + r·C + \lambda·(\overline Q - 10 L^{0,8} C^{0,2}) $
mit $ \overline Q = constant $
I) $ \frac{\partial \Lambda}{\partial L} = l - \lambda · 10 · 0,8 · L^{-0,2}C^{0,2} = 0 $
II) $ \frac{\partial \Lambda}{\partial C} = r - \lambda · 10 · 0,2 · L^{0,8}C^{-0,8} = 0 $
I) umformen: $ \lambda = \frac{l}{8L^{-0,2}C^{0,2}} $
und einsetzen in II): $ r = \frac{l}{8L^{-0,2}C^{0,2}}·2·L^{0,8}C^{-0,8} = \frac{1}{4}l\frac{L}{C}$
Umformen: $ C = \frac{1}{4} \frac{l}{r}L $ das ist eine Gerade durch den Ursprung.
****
E ist falsch:
Der Expansionspfad ist eine Gerade druch den Ursprung (siehe D) und deswegen streng monoton steigend in allen Bereichen.
Aufgabe 4
A
E
A ist richtig:
KE3 S. 96 1. Abschnitt, S. 95 2. Aufzählungspunkt
****
B ist falsch:
durchschnittliche fixe Kosten: $ \frac{K_{fix}}{Q} $ sinken, je größer die Produktmenge Q ist.
****
C ist falsch:
es fehlt das Wort "minimal".
Richtig wäre:
Firma stellt die Produktion ein, wenn die minimalen variablen Durchschnittskosten höher sind als der Preis, also der Marktpreis niedriger ist als die minimalen variablen Durchschnittskosten.
KE3, S. 98-100
variable Durchschnittskosten: DKv = $ \frac{K_{variabel}}{Q} $
KE3 S. 98-99 und Abb. A 3.4-1
bei erzielbarer Produktpreis P < min(DKv) → Firma bietet nichts mehr, also sie stellen die Produktion ein
****
D ist falsch:
Für Zeitpunkt der Produktionseinstellung siehe C.
Bei min(DKv) < P < min(DK) = $ \frac{K}{Q} $ macht die Firma immer noch genug Ertrag um die variablen Kosten und einen Teil der fixen Kosten zu decken.
In anderen Worten, in dem Preisbereich ist der Deckungsbeitrag > 0.
****
E ist richtig:
KE3 S. 101 Abb. 3.4-2
Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist eine neoklassische Produktionsfunktion.
Für alle Produktionsfunktionen ist die kurzfristige Angebotskurve gleich der Grenzkostenkurve.
Aufgabe 5
A
B
A ist richtig:
Die Firma würde den Faktor (z.B. L) schon nicht mehr nachfragen falls der Faktorpreis (z.B. Lohnstundensatz) über dem maximalen Durchschnittserlös liegt.
Aber auch die Aussage ist hier ist richtig, da das Maximum der Grenzerlöskurve noch höher ist als das Maximum der Durchschnittserlöskurve wird die Firma bei so einem noch höheren Preis erst recht nicht den Faktor nachfragen.
****
B ist richtig:
KE3, S. 114
Q umformen nach L: Q2 = LC = 100L --> L = Q2/100
****
C ist falsch wegen der Produktregel:
Schauen wir den Faktorpreis l and und nehmen wir an, l sei eine Funktion der Faktormenge L: l(L)
Kostenfunktion: K = l(L)·L + r·C
Grenzkosten des Faktors Arbeit L, Berechnung mit Produktregel (u·v)' = u'·v + u·v':
$ \frac{dK}{dL} = \frac{dl(L)}{dL}·L + l(L) $
Gewinn = Ertrag - Kosten
G = P·Q - [l(L)·L + r·$\overline C$]
Gewinnmaximierung:
$ \frac{dG}{dL} = P·\frac{dQ}{dL} - [ \frac{dl(L)}{dL}·L + l(L) ] = 0 $
⇔ $ P·\frac{dQ}{dL} - \frac{dK}{dL} = 0 $
⇔ $ P·\frac{dQ}{dL} = \frac{dK}{dL} = \frac{dl(L)}{dL}·L + l(L) $
****
D ist falsch:
Wie immer geht es Gewinnmaximierung.
Wir suchen die gewinnmaximierende Nachfragefunktion für L, also für welches L der Gewinn maximal wird.
Q ist hier eine neoklassische Cobb-Douglas-Produktionsfunktion.
$ \overline C $ ist kurzfristig konstant, siehe KE3 S. 98, 2. Aufzählungspunkt.
Gewinn = Ertrag - Kosten
G = P·Q - l·L - r·$ \overline C $
$ G = P·10·L^0,5·{\overline C}^{0,5} - l·L - r·\overline C $
$ \frac{dG}{dL} = 0,5·P·10·L^{-0,5}{\overline C}^{0,5} - l = 0 $
⇔ $ 5·PL^{-0,5}{\overline C}^{0,5} = l │·L^0,5 $
⇔ $ 5·P·{\overline C}^{0,5}= l·L^{0,5} $ │ Quadrieren
⇔ $ L = \frac{25P^2·{\overline C}}{l^2} $
****
E ist falsch:
Aus Berechnung für Teilaufgabe D:
$ L = \frac{25P^2·{\overline C}}{l^2} $
d.h. die kurzfristige Nachfrage nach dem Faktor Arbeit ist abhängig vom Lohnsatz l.
Je höher der Lohnstundensatz l ist, desto weniger Arbeit wird die Firma nachfragen. Siehe auch KE3, S. 116, Abb. A 3-5.1 Faktornachfragekurve
Aufgabe 1
D
E
****
Homogenität:
Q(λL, λC) = λh ∙ Q(L, C)
****
A ist falsch:
Q(λL, λC) = $ \frac{(λL)^2 (λC)^2 }{(λL)^3 + (λC)^3} = λ \frac{L^2 C^2 }{L^3 + C^3} $ = λ Q = λ1 Q
→ sie ist homogen vom Grade 1 = sie weist konstante Skalenerträge auf
****
B ist falsch:
Q(λL, λC) = 3(λL)2 + (λC)2 = λ2 (3L2 + C2) = λ2 Q
→ sie ist homogen vom Grade h=2
****
C ist falsch:
Q(λL, λC) = 3 λ0,5L0,5C0,5 + λL = λ (3L0,5C0,5 + L) = λ Q = λ1 Q
→ sie ist homogen, und zwar vom Grade 1
****
D ist richtig:
Q(λL, λC) = $ \alpha[\beta \lambda^{-\rho} l^{-\rho} + (1-\beta)c^{-\rho} \lambda^{-\rho}]^{-\frac{1}{\rho}} $ = λ Q = λ1 Q
****
E ist richtig:
KE3, S. 42
u(x) = v(w(x)) ist eine homothetische Produktionsfunktion, falls:
- w ist eine linear-homogene (d.h. homogen vom Grade 1) Funktion und
- v ist eine streng monoton steigende Funktion, z.B. x2 oder $ \sqrt x $: http://de.wikipedia.org/wiki/Monotonie_(Mathematik), und
- nachträglich ergänzt: u(0) = 0, damit es eine Produktionsfunktion ist (ohne Input, kein Output)
- Q(λL, λC) = λα+(1-α)LαC1-α = λ1 LαC1-α = λ1 Q --> linear-homogene Funktion, und
- eQ-1 ist eine streng monoton steigende Funktion, und
- nachträglich ergänzt: F(0)=0 damit es eine Produktionsfunktion ist (ohne Input, kein Output). e0-1= 1-1=0
Aufgabe 2
C
D
****
A ist falsch:
Q = $ \sqrt{10.000 L} = 100 \sqrt{L} = 100 L^{0,5} $
$ \frac{\partial Q}{\partial L} = 0,5·100·L^{-0,5} = 50·L^{-0,5} $
****
B ist falsch:
KE3 S. 16, 18, 20, 22
a) ist richtig
b) ist richtig
c) ist richtig
d) ist falsch. KE3 S. 79 Abbildung A 3.3-20: das ist eine kurzfristige Kostenkurve einer ertragsgesetzlichen Produktionsfunktion.
****
C ist richtig:
KE3, S. 28
Lineare Produktionsfunktion: Q = αL + βC
Jeder der Faktoren ist vollkommen substituirbar, d.h. daß z.B. Faktor L aus der Produktion sogar vollkommen verdrängt werden kann, man muß nur mehr von dem anderen Faktor C verwenden und man bekommt trotzdem die gleiche Produktmenge Q.
****
D ist richtig:
Falls die Ausgangskombination von Produktionsfaktoren effizient war, z.B. 4 Tischbeine und 1 Platte (soviel braucht man um einen Tisch zu bauen), dann ist auch ein Vielfaches davon effizient, z.B. 20 Tischbeine und 5 Platten (daraus kann man 5 ganze Tische bauen).
****
E ist falsch:
Hier wurde das Nachdifferenzieren bei der Kettenregel vergessen.
$ \frac{\partial Y}{\partial L} = e^{L^\alpha C^{1-\alpha}} \alpha L^{\alpha-1} $
Aufgabe 3
D
****
A ist falsch:
umgekehrt wäre es richtig
****
B ist falsch:
Gleichung umformen:
$ Q = L^\frac{6}{10} C^\frac{4}{10} │()^\frac{10}{6} $
⇔ $ Q^\frac{10}{6} = L C^{\frac{4}{10}\frac{10}{6}} $
⇔ $ Q^\frac{5}{3} C^{-\frac{2}{3}} = L $ Isoquante
Jetzt Steigung der Isoquante berechnen
Q = const. man berechnet die Isoquante für verschiedene Werte der Produktmenge Q:
$ \frac{dL}{dC} = -\frac{2}{3} Q^\frac{5}{3} C^{-\frac{5}{3}} $
****
C ist falsch:
KE3, S. 25
umgekehrt wäre es richtig:
$ \frac{dL}{dC} = - \frac{\frac{\partial Q}{\partial C}}{\frac{\partial Q}{\partial L}} $
****
D ist richtig:
Expansionspfad: geometrischer Ort aller Minimalkostenkombinationen der Produktionsfaktoren Arbeit L und Kapital C.
zu minimieren: Kosten = l·L + r·C mit l=Lohn(stunden)satz und r=Zins
Nebenbedingung: Q = 10 L0,8C0,2
→ Lagrange-Funktion aufstellen:
$ \Lambda = l·L + r·C + \lambda·(\overline Q - 10 L^{0,8} C^{0,2}) $
mit $ \overline Q = constant $
I) $ \frac{\partial \Lambda}{\partial L} = l - \lambda · 10 · 0,8 · L^{-0,2}C^{0,2} = 0 $
II) $ \frac{\partial \Lambda}{\partial C} = r - \lambda · 10 · 0,2 · L^{0,8}C^{-0,8} = 0 $
I) umformen: $ \lambda = \frac{l}{8L^{-0,2}C^{0,2}} $
und einsetzen in II): $ r = \frac{l}{8L^{-0,2}C^{0,2}}·2·L^{0,8}C^{-0,8} = \frac{1}{4}l\frac{L}{C}$
Umformen: $ C = \frac{1}{4} \frac{l}{r}L $ das ist eine Gerade durch den Ursprung.
****
E ist falsch:
Der Expansionspfad ist eine Gerade druch den Ursprung (siehe D) und deswegen streng monoton steigend in allen Bereichen.
Aufgabe 4
A
E
A ist richtig:
KE3 S. 96 1. Abschnitt, S. 95 2. Aufzählungspunkt
****
B ist falsch:
durchschnittliche fixe Kosten: $ \frac{K_{fix}}{Q} $ sinken, je größer die Produktmenge Q ist.
****
C ist falsch:
es fehlt das Wort "minimal".
Richtig wäre:
Firma stellt die Produktion ein, wenn die minimalen variablen Durchschnittskosten höher sind als der Preis, also der Marktpreis niedriger ist als die minimalen variablen Durchschnittskosten.
KE3, S. 98-100
variable Durchschnittskosten: DKv = $ \frac{K_{variabel}}{Q} $
KE3 S. 98-99 und Abb. A 3.4-1
bei erzielbarer Produktpreis P < min(DKv) → Firma bietet nichts mehr, also sie stellen die Produktion ein
****
D ist falsch:
Für Zeitpunkt der Produktionseinstellung siehe C.
Bei min(DKv) < P < min(DK) = $ \frac{K}{Q} $ macht die Firma immer noch genug Ertrag um die variablen Kosten und einen Teil der fixen Kosten zu decken.
In anderen Worten, in dem Preisbereich ist der Deckungsbeitrag > 0.
****
E ist richtig:
KE3 S. 101 Abb. 3.4-2
Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist eine neoklassische Produktionsfunktion.
Für alle Produktionsfunktionen ist die kurzfristige Angebotskurve gleich der Grenzkostenkurve.
Aufgabe 5
A
B
A ist richtig:
Die Firma würde den Faktor (z.B. L) schon nicht mehr nachfragen falls der Faktorpreis (z.B. Lohnstundensatz) über dem maximalen Durchschnittserlös liegt.
Aber auch die Aussage ist hier ist richtig, da das Maximum der Grenzerlöskurve noch höher ist als das Maximum der Durchschnittserlöskurve wird die Firma bei so einem noch höheren Preis erst recht nicht den Faktor nachfragen.
****
B ist richtig:
KE3, S. 114
Q umformen nach L: Q2 = LC = 100L --> L = Q2/100
****
C ist falsch wegen der Produktregel:
Schauen wir den Faktorpreis l and und nehmen wir an, l sei eine Funktion der Faktormenge L: l(L)
Kostenfunktion: K = l(L)·L + r·C
Grenzkosten des Faktors Arbeit L, Berechnung mit Produktregel (u·v)' = u'·v + u·v':
$ \frac{dK}{dL} = \frac{dl(L)}{dL}·L + l(L) $
Gewinn = Ertrag - Kosten
G = P·Q - [l(L)·L + r·$\overline C$]
Gewinnmaximierung:
$ \frac{dG}{dL} = P·\frac{dQ}{dL} - [ \frac{dl(L)}{dL}·L + l(L) ] = 0 $
⇔ $ P·\frac{dQ}{dL} - \frac{dK}{dL} = 0 $
⇔ $ P·\frac{dQ}{dL} = \frac{dK}{dL} = \frac{dl(L)}{dL}·L + l(L) $
****
D ist falsch:
Wie immer geht es Gewinnmaximierung.
Wir suchen die gewinnmaximierende Nachfragefunktion für L, also für welches L der Gewinn maximal wird.
Q ist hier eine neoklassische Cobb-Douglas-Produktionsfunktion.
$ \overline C $ ist kurzfristig konstant, siehe KE3 S. 98, 2. Aufzählungspunkt.
Gewinn = Ertrag - Kosten
G = P·Q - l·L - r·$ \overline C $
$ G = P·10·L^0,5·{\overline C}^{0,5} - l·L - r·\overline C $
$ \frac{dG}{dL} = 0,5·P·10·L^{-0,5}{\overline C}^{0,5} - l = 0 $
⇔ $ 5·PL^{-0,5}{\overline C}^{0,5} = l │·L^0,5 $
⇔ $ 5·P·{\overline C}^{0,5}= l·L^{0,5} $ │ Quadrieren
⇔ $ L = \frac{25P^2·{\overline C}}{l^2} $
d.h. je höher der Lohnstundensatz l ist, desto weniger Arbeit wird die Firma nachfragen. Siehe auch KE3, S. 116, Abb. A 3-5.1 Faktornachfragekurve
⇔ L = 25 mit den Werten aus der Aufgabe****
E ist falsch:
Aus Berechnung für Teilaufgabe D:
$ L = \frac{25P^2·{\overline C}}{l^2} $
d.h. die kurzfristige Nachfrage nach dem Faktor Arbeit ist abhängig vom Lohnsatz l.
Je höher der Lohnstundensatz l ist, desto weniger Arbeit wird die Firma nachfragen. Siehe auch KE3, S. 116, Abb. A 3-5.1 Faktornachfragekurve
- Hochschulabschluss
- Diplom
- 2. Hochschulabschluss
- Bachelor of Science
- Studiengang
- M.Sc. Wirtschaftswissenschaft
- ECTS Credit Points
- 120 von 120
Hallo Münchner Kindl,
ich bewundere ja Deinen Fleiß und die Akkuratesse, deswegen Kritik nicht persönlich nehmen ;)
Zu 1E) hätte ich noch anzumerken, daß ( lt. Skript ) entscheidend eben auch ist, daß F(0) = 0, strenge Monotonie ist zwar notwendig aber nicht hinreichend.
2D) hätte ich auch falsch, da eine linear-limitationale Pro.-Fkt nur in einem einzigen Punkt effizient ist - rechts und links davon ( insbesondere rechts ) sind ineffiziente Faktorkombinationen. ( lasse mich aber gerne eines besseren belehren )
ich bewundere ja Deinen Fleiß und die Akkuratesse, deswegen Kritik nicht persönlich nehmen ;)
Zu 1E) hätte ich noch anzumerken, daß ( lt. Skript ) entscheidend eben auch ist, daß F(0) = 0, strenge Monotonie ist zwar notwendig aber nicht hinreichend.
2D) hätte ich auch falsch, da eine linear-limitationale Pro.-Fkt nur in einem einzigen Punkt effizient ist - rechts und links davon ( insbesondere rechts ) sind ineffiziente Faktorkombinationen. ( lasse mich aber gerne eines besseren belehren )
Münchner Kindl
Tutorin und Forenadmin
Auf gar keinen Fall
Ich poste ja meine Lösungen, damit sich eine Diskussion ergibt und ich Fehler noch vor dem Abgabetermin berichtigen kann
Wo hast Du das im Skript gefunden?
Ich habe dazu nur KE3, S. 42, 2. Absatz gefunden, und da steht nichts davon, daß die Funktion durch den Ursprung gehen muß.
Ja, das stimmt, bei der linear-limitationalen Produktionsfunktion gibt es nur einen effizienten Punkt, z.B. x-Achse 4 Tischbeine und y-Achse 1 Tischplatte.
Alle anderen Kombinationen, z.B. 6 Tischbeine und 1 Tischplatte, bringen nichts, man kann trotzdem nur einen Tisch daraus bauen und es bleiben Bauteile übrig.
Das heißt, die Isoquante hat die Form eines "L" und der effiziente Punkt (hier: 4,1) ist die Ecke des "L".
Aber so wie ich die Frage verstanden habe, geht es hier nicht darum, das wir auf der alten Isoquante bleiben, sondern was passiert, wenn wir ein n-faches des ursprünglich effizienten Punktes (4,1) nehmen, ist der neue Punkt dann auch effizient?
Also springen wir auf eine neue, rechts davon gelegene Isoquante, und siehe da, der Eckpunkt (= effizienter Punkt) auf der neuen Isoquante ist (4·n, 1·n), also ist der meiner Meinung nach auch effizient.
Siehe dazu auch den Wiki-Artikel Limitation (Wirtschaftswissenschaften) und das Bild daraus (aber im Bild hat man nicht 4 Tischbeine und 1 Platte, sondern ein Produkt, das zum Produzieren von 5 Einheiten des Produkts, 10 Anteile des Produktionsfaktors r1 und 10 Anteile des Produktionsfaktors r2 braucht!):
Umgangssprachlich:
Wenn man einen Tisch aus 4 Beinen und einer Platte bauen kann, dann kann man auch 3 Tische aus 12 Beinen und 3 Platten bauen und hat immer noch nichts über an Bauteilen, sprich, man hat immer noch effizient produziert.
- Hochschulabschluss
- Diplom
- 2. Hochschulabschluss
- Bachelor of Science
- Studiengang
- M.Sc. Wirtschaftswissenschaft
- ECTS Credit Points
- 120 von 120
S.11. KE3 unten. F'(Q)>0 für alle Q und F(0)=0
Gruß
Münchner Kindl
Tutorin und Forenadmin
Das ist meiner Meinung nach falsch.
Streng monoton steigend verlangt nicht, daß die Funktion durch den Ursprung geht, nur, daß F'(Q)>0 für alle Q.
Wenn wir schon dabei sind, was ich in der Literatur als Definition für homothetisch gefunden habe ist auch etwas anders, dort reicht es, wenn eine Funktion homogen ist und dann einer streng monoton steigenden Funktion unterworfen wird, es muß nicht am Anfang eine linear-homogene Funktion stehen, siehe S. 260 "Grundlagen der Mikroökonomie" von Horst Demmler.
Das bedeutet, die Bedingungen für homothetisch wären:
u(v1, v2) = g(x) = g(f(v1, v2)) ist homothetisch falls:
- f ist eine homogene Funktion und
- g ist eine streng monoton steigende Funktion, z.B. x2+4 oder 7+$ \sqrt x $: http://de.wikipedia.org/wiki/Monotonie_(Mathematik)
Beispiel:
x = f(v1, v2) = v1m·v2n
- x = f(λv1, λv2) = λmv1m·λnv2n = λm+nv1m·v2n = λm+n·f(v1, v2) ist homogen vom Grade (m+n)
- z = g(x) = x + 7 ist eine streng monoton steigende Funktion, da g'(x)=1>0 für alle x.
→ z = g(x) = x + 7 = v1m·v2n + 7 ist eine homothetische Funktion.
Also (Quelle: S. 144 "Mikroökonomie" von Jörg Beutel):
- Jede homogene Funktion ist homothetisch.
Wir müssen uns nur vorstellen, daß als Schritt 2 einfach die Funktion g(x) = x angewendet wurde, die ja streng monoton steigend ist, und die Funktion z am Ende des Schrittes 2 somit die gleiche ist wie die ursprüngliche Funktion f(v1, v2)! - Aber nicht jede homothetische Funktion ist homogen.
Siehe unsere homothetische Funktion v1m·v2n + 7, die ist inhomogen, da:
g(λv1, λv2) = λmv1m·λnv2n + 7 ≠ λh·(v1m·v2n + 7)
Ich werde dem Lehrstuhl eine Mail schreiben und dann berichten.
- Hochschulabschluss
- Diplom
- 2. Hochschulabschluss
- Bachelor of Science
- Studiengang
- M.Sc. Wirtschaftswissenschaft
- ECTS Credit Points
- 120 von 120
...da gebe ich Dir vollständig recht.
Habe in dem Fall nur das Skript zitiert ohne an dessen Richtigkeit zu zweifeln... ;)
Münchner Kindl
Tutorin und Forenadmin
Also, ich habe jetzt die Antwort des Lehrstuhls bekommen.
Das F(0)=0 sei etwas mißverständlich plaziert, es ist keine zusätzliche Bedingung für streng steigende Monotonie.
Es ist einfach eine Bedingung, die eine Produktionsfunktion kennzeichnet, da für eine Produktionsfunktion stets gilt, daß, wenn man nichts an Produktionsfaktoren reinsteckt, man auch kein Produkt am Ende rausbekommt:
Zum anderen Punkt, daß am Anfang eine linear-homogene Funktion stehen muß, und nicht einfach nur eine homogene Funktion, dazu wurde geantwortet:
Also haben wir in diesem Fach als Bedingungen für eine homothetische Produktionsfunktion:
u(x) = v(w(x)) ist eine homothetische Produktionsfunktion, falls:
Das F(0)=0 sei etwas mißverständlich plaziert, es ist keine zusätzliche Bedingung für streng steigende Monotonie.
Es ist einfach eine Bedingung, die eine Produktionsfunktion kennzeichnet, da für eine Produktionsfunktion stets gilt, daß, wenn man nichts an Produktionsfaktoren reinsteckt, man auch kein Produkt am Ende rausbekommt:
"Die zusätzliche Bedingung F(0)=0 (welche sich nicht mehr auf die Monotonie bezieht, was in der Tat missverständlich formuliert ist) wird oft nicht explizit genannt (aber implizit vorausgesetzt), da für eine Produktionsfunktion stets gilt, dass der Output ohne Input gleich Null ist."
Zum anderen Punkt, daß am Anfang eine linear-homogene Funktion stehen muß, und nicht einfach nur eine homogene Funktion, dazu wurde geantwortet:
"die im Skript gegebene Definition ist die übliche. D.h. die Funktion, die einer streng monoton steigenden Transformation unterzogen wird, muss linear-homogen sein."
Müssen wir also wohl hier so als gegeben hinnehmen.Also haben wir in diesem Fach als Bedingungen für eine homothetische Produktionsfunktion:
u(x) = v(w(x)) ist eine homothetische Produktionsfunktion, falls:
- w ist eine linear-homogene Funktion und
- v ist eine streng monoton steigende Funktion, z.B. x2 oder $ \sqrt x $: http://de.wikipedia.org/wiki/Monotonie_(Mathematik), und
- u(0) = 0, damit es eine Produktionsfunktion ist (ohne Input, kein Output)