Als erstes berechnest Du die Barwerte der beiden Reihen (das sind schon Werte nach Steuern, das e' und e'' verraten dies).
K
1 = -100 + $\frac{27}{1+r}$ + $\frac{27}{(1+r)^2}$ + $\frac{27}{(1+r)^3}$ + $\frac{27}{(1+r)^4}$
K
2 = -100 + $\frac{37}{1+r}$ + $\frac{27}{(1+r)^2}$ + $\frac{27}{(1+r)^3}$ + $\frac{17}{(1+r)^4}$
Wie findet man heraus ob etwas größer oder kleiner als etwas anderes ist.
Normalerweise sieht man es sofort, aber wenn man wie hier einen langen Ausdruck hat mit einer Unbekannten (hier ist r nicht angegeben), dann zieht man die beiden Barwerte voneinander ab, und wenn das Ergebnis positiv ist, war der eine Barwert größer als der andere.
K
2 - K
1 =
= -100 + $\frac{37}{1+r}$ + $\frac{27}{(1+r)^2}$ + $\frac{27}{(1+r)^3}$ + $\frac{17}{(1+r)^4}$
- (-100 + $\frac{27}{1+r}$ + $\frac{27}{(1+r)^2}$ + $\frac{27}{(1+r)^3}$ + $\frac{27}{(1+r)^4}$)
= $\frac{10}{1+r}$ - $\frac{10}{(1+r)^4}$
= 10∙($\frac{1}{1+r}$ - $\frac{1}{(1+r)^4}$)
Jetzt schauen wir uns die Terme in der Klammer an.
Entweder wir machen es allgemeingültig:
falls r größer Null ist
(so ist es normalerweise, obwohl, wir leben in eigenartigen Zeiten, bei der letzten Platzierung der Bundesanleihen haben die Anleger sogar für das Privileg gezahlt, der Bundesregierung ihr Geld geben zu dürfen, sprich der Zins wurde tatsächlich negativ, z.B. geben die Anleger der Bundesregierung bei einer endfälligen Anlage heute 100€ und kriegen dafür in 10 Jahren nur 99€ zurück, also ist der Zins r da tatsächlich negativ!).
Egal, wir gehen vom Normalfall r>0 aus.
Also, falls r>0 dann ist der erste Term 1 geteilt durch etwas größer eins, also ist der Bruch insgesamt kleiner als 1:
$\frac{1}{1+r}$ < 1
Der zweite Term ist auch kleiner als 1, aber durch das hoch 4 im Nenner ist der Nenner (1+r)4 von Term 2 größer als der Nenner (1+r) von Term 1, d.h. der Bruch ist auch kleiner 1, aber viel kleiner als 1:
$\frac{1}{(1+r)^4}$ << 1
Das bedeutet insgesamt ist unsere Klammer ein positiver Wert (das bedeutet, K2 ist größer als K1), der aber kleiner als 1 ist, da wir von Bruch 1, der kleiner als 1 ist, Bruch 2 abziehen, der viel kleiner als 1 ist.
Also ist die Differenz:
K2 - K1 =
= 10∙($\frac{1}{1+r}$ - $\frac{1}{(1+r)^4}$)
= 10∙(positive Zahl, die kleiner als 1 ist) < 10
Oder aber:
Du nimmst einfach den Taschenrechner her, setzt für r einen passenden Wert ein, z.B. r=0,1 und schaust, was dabei herauskommt, dann siehst Du schon die Richtung, in die es geht
