Frage zu Modul/Klausur Cholesky Faktorisierung 2x2 Matrix Formel

Hallo zusammen,

ich mache als Vorbereitung für die AlgoMathe Klausur im September gerade einige Altklausuren. In der WS 2014er Klausur bei Aufgabe 10 steht folgendes:

Zeigen oder widerlegen Sie: f ist konvex.
f(x,y) := 2x² + 5y² -2xy + x - 70000y + 3

Daraus ergibt sich die Hessematrix (soweit verstanden)
4 -2
-2 10

Wenn ich jetzt herausfinden möchte ob eine Cholesky Faktorisierung vorliegt meine ich doch, dass man das sehr einfach über eine bestimmte Formel machen konnte. Leider finde ich diese nirgendwo mehr in meinen Unterlagen und ich komme nicht drauf. Kann mir da jemand helfen?


Ergebnis der Zerlegung sollte sein
2 0
-1 3
und
2 -1
0 3

Danke!

Choleskyfaktorisierung hat zwei allgemeine Formeln (bei mir im Skript KE 4 Seite 204 über dem Pythoncode)
Einfacher ist es eventuell sich die jeweiligen spezifischen Formeln für die Stellen zu merken.

Die Hessematrix wäre deine Matrix A, für die gilt $ A = L \cdot L^T $
Um L zu bekommen geht man Schritt für Schritt durch.
Die Stellen über der Diagonalen sind alle 0.
Allgemeine Form ist also für eine 3 x 3 Matrix
$ l_{11} ~ ~ 0 ~ ~ ~ ~ 0 $
$ l_{21} ~ ~ l_{22} ~ ~ 0 $
$ l_{31} ~ ~ l_{32} ~ ~ l_{33} $

Für $ l_{11} $ gilt $ l_{11}= \sqrt{a_{11}} = \sqrt{4} = 2$
Für alle anderen Zeilen unter dieser (also $ l_{21} $ und $ l_{31} $) gilt $ l_{i1} = \frac {a_{i1}} {l_{11}} $
Somit ergibt sich für deine Aufgabe $ \frac {-2} {2} = -1 $
$ l_{12} $ ist 0
$ l_{22} = \sqrt{a_{22} - l_{21}^2 }= \sqrt{10 - (-1)^2} = \sqrt 9 = 3 $

Somit kommst du auf die Matrix L
2 0
-1 3

$ L^T $ ist die an der Achse gespiegelte Matrix (wenn ich mich nun nicht irre) und somit $ L^T $
2 -1
0 3

Hoffe dies hilft dir weiter :)

Ah alles klar, dann bearbeite ich meinen Post ^^
LaTeX ist kein Problem