Einsendeaufgaben EA1 31201 WS14/15

E 1.1
a) ist bijektiv, es gibt zu jedem A exakt ein x, also Permutation mit den Zykeln (19, 28, 37, 46)
b) weder injektiv noch surjektiv
c) ist injektiv, es gibt weniger A als X
d) ist surjektiv, es gibt zu jedem A mind. 1 X
e) weder injektiv noch surjektiv
f) ist bijektiv, also Permutation mit den Zykeln (1247,39 ,586)

E 1.2
max (a/b, c/d) ist entweder größer oder gleich min (a/b, c/d). Also gilt auch dass die Summe der beiden geteilt durch 2 bestenfalls gleich groß sein kann. Warum geteilt durch 2. Weil es die Summe zweier Einzelteile ist.
Also: wenn ich einen Kuchen in 2 Teile schneide, dann ist es genauso. Entweder habe ich ein super Auge und eine ruhige Hand, dann wären beide Teile exakt gleich groß. Oder ich habe nicht genau gearbeitet und der eine Teil wiegt ein Gramm mehr als der Durchschnitt, der andere 1 Gramm weniger. Dann wäre max(Kuchenhälfte)>Kuchenhälfte + Kuchenhälfte>min(Kuchenhälfte)
Vielleicht nicht sehr wissenschaftlich, aber logisch.

Schneide ich eine Kuchenhälfte so klein, dass sie negativ wird, dann stimmt die Annahme nicht mehr, denn dann müsste die andere Hälfte mehr wiegen als der gesamte Kuchen. Somit stimmt die Annahme bei negativen Zahlen nicht mehr.

E 1.3
a) 3 teilt 4^n-1 - gilt für alle n € N. Warum? 4^1 = 4=1*3+1*1; 4^2 = 4*3 + 4*1 oder 5*3 + 1. 4^3=16*3 + 16*1 oder 21*3 + 1

Mit jeder weiteren Multiplikation mit 4 wird von 1*3 auf 4*3 auf 16*3 multipliziert und bei den 1ern ist es ebenso, es kommen 4*1 hinzu, von denen 3 wieder durch 3 teilbar sind, der Rest von 1 wird abgezogen

E 1.3
b) kann auch umgewandelt werden in 3*(n-1) *(4^n+1) +4. Betrachte ich das erste Element 3*(n-1) erhalte ich werte, die periodisch von einem durch 9 teilbaren Wert abweichen im Rhythmus 7,4,1 für n€N. Da der Multiplikator 3 beträgt, kann die Abweichung nur in diesem Zyklus liegen.
Beim 2. Element 4^n+1 erhalte ich ebenfalls Werte, die periodisch von einem durch 9 teilbaren Wert abweichen, und zwar im Rhyhtmus 7,1,4.
Denn: für n=1 ist das Ergebnis von 3*n-1 = 2 und von 4^n+1 =16. Geteilt durch 9 verbleibt in beiden Fällen ein Rest von 7.
Warum sind die Reste wichtig? Wäre einer der beiden Werte durch 9 teilbar, wären beide durch 9 teilbar, da es sich um eine Multiplikation handelt. Daher kümmert mich jetzt auch nur das Verhalten des Rests.

1. Fall: Beide haben einen Rest von 7, d.h. das Ergebnis des ersten Terms weicht um 2 von einer durch neun teilbaren Zahl ab. Diese 2 mal kann ich den Rest des 2. Terms multiplizieren und erhalte 14. Plus den dritten Term (+4) ergibt sich 18/9=2
2. Fall: der erste Term hat einen Rest von 4, das Ergebnis weicht also um 5 von der nächsten durch 9 teilbaren Zahl ab. Diese 5mal kann ich den Rest des 2.Terms (1) multiplizieren und erhalte 5 +4 =9/9=1
3. Fall: Rest Term1 =1, daher 8*Rest Term2 =8*4=32+4=36/9=4

Damit ist eindeutig bewiesen, dass 9 3n*4^(n+1)-4^(n+1)+4 für alle n€N teilt.

E 1.4
Durchschnittlich wäre dies alle 7 Jahre der Fall, da diese Konstellation immer dann eintrifft, wenn der 1. März auf einen Freitag fällt.
Da das Jahr 365/7 = 52 Wochen und 1 Tag lang ist, ist im Folgejahr der 1. März ein Samstag, dann ein Sonntag usw.
Jedes 4. Jahr ist ein Schaltjahr, was bedeutet, dass das Jahr 52 Wochen und 2 Tage lang ist. In dem Jahr wird sozusagen ein Tag übersprungen, so dass die o.g. Kombination - sofern im Folgejahr ein Schaltjahr ist - bereits nach 5 Jahren auftauchen kann und ansonsten nach 6 Tagen. Abhängig von der Stellung der Schaltjahre ist das Intervall, beginnend mit einem Schaltjahr im Folgejahr: 5 Jahre, 11 Jahre, 6 Jahre, 6 Jahre. D.h. über mehrere Jahre betrachtet taucht diese Konstellation in 5+11+6+6 = 28 Jahren 4mal auf.
Berücksichtigt man noch, dass nach 100, 200, 300 Jahr das Schaltjahr ausfällt (nach 400 jedoch nicht) und sich dadurch eine minimale Verzögerung ergibt (von 100 Schaltjahren entfallen 3), wäre der genaue Durchschnitt demzufolge geringfügig länger, nämlich wären das 4., 8. und 11. Intervall 1 Tag länger, somit eine durchschnittliche Verzögerung von 3 Tagen auf 1 400-Jahre Zyklus.