Plauderecke Frage zur f surjektiv

Hallo Zusammen,

mir ist klar das jedes Element in R ein Elementen in RxR haben muss. Aber trotzdem verstehe ich die Beispiele nicht.

Da sind deine Fragen besser aufgehoben, dann finden die IT'ler deine Beiträge auch.

Surjektiv ist es, wenn zu jedem y aus Y (mindestens) ein x aus X mit f(x)=y gibt.
Andersrum ist es injektiv.
Tritt beides gleichzeitig auf ist die Funktion bijektiv.

Es werden auch ganz viele Mentoriate im SS22 für Mathematische Grundlagen angeboten, vielleicht wäre das eine Idee.

Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge „getroffen“ wird. Um das zu beweisen, zeigst Du im Prinzip, dass gegeben irgendein Zielwert z, es Parameter x gibt, so dass f(x) = z. Wichtig: Bildwert ist gegeben und du musst die Parameter angeben.

Beispiel (a) ist eine Funktion die zwei Werte x, y "nimmt" und dann x+y ausrechnet. Wenn Du jetzt ein z aus der Zielmenge, hier IR, gegeben hast, musst Du jetzt x und y angeben. Die setzen jetzt einfach x = 0 und y = z, dann ist f(x, y) = x+y = 0+z = z. Und da z allgemein gewählt war, hast Du gezeigt, dass es für jedes solches z aus der Zielmenge geht, d.h. f ist surjektiv.

Bei (b) muss man sich das g genau anschauen: das bildet die natürlichen Zahlen {1, 2, 3, ...} auf die ganzen Zahlen ab {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Die Funktion packt dann schlicht ein Minuszeichen davor, d.h. die Bildmenge g(IN) ist gleich {-1 = g(1), -2 = g(2), ...}. D.h. aber, dass es für 0, 1, 2 usw. kein Urbild gibt. Dann ist g aber nicht surjektiv. Hier kann man auch sehen, dass die Begriffe der Zielmenge (hier die ganzen Zahlen Z) und der Bildmenge g(IN) = {-1, -2, ...} = -IN auseinanderfallen. Wenn die identisch sind, genau dann ist die dazugehörige Funktion surjektiv.

Übrigens ist es eine gute Übung, wenn Du mal versuchst eine surjektive Funktion von IN nach Z zu finden, die gibt es nämlich. Dazu ist auch das Gedankenspiel von Hilberts Hotel interessant ;)

uberwach schrieb:

Übrigens ist es eine gute Übung, wenn Du mal versuchst eine surjektive Funktion von IN nach Z zu finden, die gibt es nämlich. Dazu ist auch das Gedankensiel von Hilberts Hotel interessant ;)

Zum Vergrößern anklicken....

Ich überlege so:

1 -> 0

2 -> 1

3 -> -1

4 -> 2

5 -> -2

6 -> 3

7 -> -3

8 -> 4

9 -> -4

10 -> 5

11 -> -5

12 -> 6

13 -> -6

Also:

f: N -> Z

f(1) = 0

f(n) = n/2 falls n gerade

f(n) = - f(n - 1) falls n > 1 ungerade


Anders hingeschrieben:

f(n) = n/2 falls n gerade

f(n) = (1 - n ) / 2 falls n ungerade

Genau, als geschlossene Formel dürfte
f(n) = chiIN \ {1}(n) sin(pi * n + pi/2) floor(n/2)

hinhauen.

chi_A(x) = 1, wenn x in A und 0 sonst. (charakteristische Funktion, manchmal auch mit delta bezeichnet)
Alternativ könnte man die Klammernotation nutzen [n > 1] (das schreibt ein Prädikat in die Klammer, wenn sie wahr ist 1, sonst 0)

"Meine" geschlossene Darstellung von f:

g: N -> Z

g(n) = (n mod 2 + n * [(-1)^n]) / 2

schaut gut aus 🧐

moin

BenIT schrieb:

mir ist klar das jedes Element in R ein Elementen in RxR haben muss. Aber trotzdem verstehe ich die Beispiele nicht.

Anhang anzeigen 18054

Zum Vergrößern anklicken....

>> mir ist klar das jedes Element in R ein Elementen in RxR haben muss.
Das kommt ja eben stark auf die Funktion an. Man muss bei der Surjektivitätseigenschaft nur zeigen, dass es für jedes Bild ein Urbild gibt.
Das ist bei (a) recht einfach. Für jedes (y) gibt es schon (0,y) oder (y,0). Gemäß der Logik “Für alle gibt es ein Urbild” oder negiert “Es gibt kein Bild, für das es kein Urbild gibt.”
Im Beispiel läuft der Trick über die 0. Aber die Funktion ist keineswegs injektiv, denn auf (4) bilden z. B. (2,2) oder (3,1) ab.

Bei (b) nutzt man die Tatsache aus, dass nach der Def. des Scriptes die 0 nicht in IN liegt. Die Funktionswerte sind -1, -2, -3, ...
Weder die 0 noch die positiven Zahlen aus IZ werden getroffen. Es reicht aber schon eine solche Zahl zu zeigen, die nicht erreicht werden kann.

Initialised89 schrieb:

jedes Bild ein Urbild gibt.

Zum Vergrößern anklicken....

das gibt es immer, vgl. Definition "Bild" (einer Funktion)

Oder für jedes Element der Zielmenge

Gibt es nicht gewöhnlich eine Newsgroup in Moodle, in der man solche Fragen mit seinen Kommilitonen diskutiert ?

Orkus schrieb:

Gibt es nicht gewöhnlich eine Newsgroup in Moodle, in der man solche Fragen mit seinen Kommilitonen diskutiert ?

Zum Vergrößern anklicken....

Das Semester hat doch noch nicht begonnen, er wird dann vermutlich erst ab 01.04 zugriff haben.