Sonstige Aufgaben Grenzrate der Substitution

Hallo,
ich sitze gerade an der Kurseinheit 1 der "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre" an der Aufgabe 5.
Man soll die "Grenzrate der Substitution" für die Produktionsfunktion

M (r1,r2)=4r1² * r2

bestimmen.
In der Lösungsübersicht wurde die Isoquantengleichung aufgestellt und dazu die Produktionsfunktion nach r2 umgestellt:
r2 = M / 4r1² = (M / 4) * r1 hoch -2

als nächstes wurde dann die GRS angegeben mit:
GRS2,1 = dr2 / dr1 = -M / 2r1³ = -(M / 2) * r1 hoch -3

Jetzt sind meine Fragen:
a) Wieso musste erst die Isoquantengleichung aufgestellt werden?
b) Kann mir jemand den Herleitungsweg von der angegebenen Isoquantengleichung hin zur finalen GRS erklären? Hier kann ich mir leider nicht erklären, wie man dazu kommt.

a) Weil die GRS (im entsprechenden Produktionspunkt) der Steigung der Isoquante (im entsprechenden Produktionspunkt) entspricht.
b) Produktionsfunktion nach r2 auflösen und schließlich nach r1 ableiten. Beide Schritte sind oben korrekt durchgeführt. Was bereitet dir jetzt noch Probleme?

Hallo Ingo,
vielen Dank! Ok, das habe ich soweit jetzt verstanden. Was mich noch Kopfzerbrechen bereitet ist, wie ich nach r1 ableite.

Ah, ok, ich glaube, ich hab's. Also wäre die Ableitung von r2 = (M / 4) * r1 hoch -2:

r2' bzw. GRS(2,1) = -2(M / 4) * r1 hoch -2-1
richtig?
Und durch Weggürzen komme ich dann auch auf das Endergebnis M/2 * r1 hoch -3. Soweit stimmt mein Ergebnis mit dem Heft überein.

Mich irritiert nur, weshalb in der Heftlösung als Zwischenergebnis erst -M/2r1 hoch 3 und anschließend dann die Formel M/2 * r1 hoch -3 steht? Wie sind die auf den Zwischenschritt gekommen?

Ich denke mal, dein Problem ist, dass r1 im Nenner steht. Du bringst es in den Zähler, indem du das Vorzeichen des Exponenten wechselst. Bsp.
1/x = x hoch -1. Mit dieser Schreibweise kann man dann genauso ableiten, wie wenn der Exponent positiv ist. Im Bsp. lautet die Ableitung -x hoch -2 = -1/x². Aber man kann die Variable natürlich auch im Nenner stehen lassen und mithilfe der Quotientenregel ableiten, was m.E. aber wesentlich umständlicher ist!

Ah ok, jetzt hab ich's. Vielen lieben Dank! Du hast mir wirklich sehr weitergeholfen!!!