Sonstige Aufgaben Hilfe! Vektorraum bestimmen

WiBi · 21 Juni 2015

Hallo,

Ich hab mich fürs WS in den Bachelor Wiwi eigeschrieben und versuche jetzt schon mal meine miserablen Mathekenntnisse auf Vordermann zu bringen und arbeite deshalb den Dörsam durch.
Ich hab auch die Aufgabensammlung von Dörsam, und hier irritiert mich eine Aufgabe so, dass ich ständig drüber nachgrüble, aber nicht draufkomme, warum die so gelöst wurde. Also dachte ich mir, ich probier's mal bei euch:
Es geht um die Aufgabe 1.4.B
a) V = {(t, x, y, z)| t + x = 0; t, x, y, z € R}
a) V = {(a, b, c) | a -c = 0; a, b, c € R}
Nun meine Frage:
Warum ist Aufgabe a) ein Vektorraum und Aufgabe b) nicht?
Warum darf man t und x gleich 0 setzen, a und c aber nicht?
Wenn ich a und c gleich 0 setzen würde, dann wäre diese Gleichung doch auch ein Vektorraum. Oder ist da ein Denkfehler drin?

Vielen Dank schon mal für die Hilfe
WiBi

WiBi · 21 Juni 2015

Oh, ich seh gerade, dass die Aufgaben im ersten Beitrag nicht korrekt erschienen sind. Es müssen t, x, a und c im Quadrat sein.Ich drück das mal mit einer 2 dahinter aus. Es muss also heißen:
t2 + x2 =0 und
a2- c2 = 0

Basströte · 23 Juni 2015

Vorweg - es wäre gut die ganze Aufgabenstellung zu wissen, dann könnte ich mir mehr drunter vorstellen.

Wenn ich ein bisschen was unterstelle, würde ich folgendes antworten:

Zieh das Pferd von hinten auf:

Wenn es keine Vektorräume sein sollen, müssen 2 Vektoren linear abhängig sein. Daraus folgt, dass die Linearkombination den Nullvektor ergeben muss. (Das ist eine mögliche Definition der linearen Abhängigkeit)

a2 - c2 = 0

lässt sich mittels der 3. binomischen Formel auch als

(a + c) (a - c) = 0

darstellen. Das kann aber nur erfüllt sein, wenn eine der Klammern gleich Null ist. Genau das ist die oben genannte Voraussetzung für lineare Abhängigkeit. Folglich ist kein Vektorraum gegeben.

Für den zweiten Fall ist das Anwenden einer binomischen Formel nicht möglich. Eine Summe von Quadraten im R kann niemals Null werden, es sei denn beide Vektoren sind der Nullvektor selbst. Davon gehe ich nicht aus. Somit sind die Vektoren alle linear unabhänig und spannen einen Vektorraum auf.

So würde ich das sehen.

WiBi · 23 Juni 2015

Die Aufgabenstellung lautet, man solle prüfen, ob es sich bei der Gleichung um einen Vektorraum handelt.

Ich hätte jetzt folgenden Lösungsweg:

Aufgabe a)
Für x und t kann es ja nur diese eine Lösung geben, dass x und t beide Null sind. Andernfalls ist die Gleichung ja nicht erfüllt. Somit ist die Gleichung für x=0 und t=0 ein Vektorraum.

Aufgabe b)
Für a und c gibt es unendlich viele Lösungen, die aber nicht abgeschlossen sind bzgl. der Addition.
Denn:
(1,0,-1) + (1,0,1) = (2,0,0)
wobei (1,0,-1) und (1,0,1) Elemente aus V sind, (2,0,0) jedoch nicht.

Ich schlussfolgere folglich:
Wenn es nur eine möglich Lösung gibt, dann handelt es sich um einen Vektorraum.
Wenn es aber unendlich viele Lösungen gibt, die nicht abgeschlossen sind bzgl. der Addition und/oder der Multiplikation, dann handelt es sich um keinen Vektorraum.
Ist das korrekt?

WiBi · 23 Juni 2015

Kann mir jemand sagen, wie man eigentlich die Quadratzahl am PC schreibt?

JosefZ · 23 Juni 2015

Ich nutze noch Word 2003, da geht es folgendermaßen: strg + für hoch stellen und dann Zahl tippen.

Basströte · 23 Juni 2015

WiBi schrieb:
Die Aufgabenstellung lautet, man solle prüfen, ob es sich bei der Gleichung um einen Vektorraum handelt.

Ich hätte jetzt folgenden Lösungsweg:

Aufgabe a)
Für x und t kann es ja nur diese eine Lösung geben, dass x und t beide Null sind. Andernfalls ist die Gleichung ja nicht erfüllt. Somit ist die Gleichung für x=0 und t=0 ein Vektorraum.

Diese Argumentation erschließt sich mir nicht!
x und t können beide aus der Gruppe der realen Zahlen sein - also könnte x = pi und t = - pi sein und die Gleichung oben ist immer noch erfüllt. Gleiches gilt immer wenn a = -t ist!

Diese Gleichung ist auch nicht die Definition eines Vektorraums, sondern eine Bedingung, die an die Vektoren gestellt wird!

Aufgabe b)
Für a und c gibt es unendlich viele Lösungen, die aber nicht abgeschlossen sind bzgl. der Addition.
Denn:
(1,0,-1) + (1,0,1) = (2,0,0)
wobei (1,0,-1) und (1,0,1) Elemente aus V sind, (2,0,0) jedoch nicht.

Ich schlussfolgere folglich:
Wenn es nur eine möglich Lösung gibt, dann handelt es sich um einen Vektorraum.
Wenn es aber unendlich viele Lösungen gibt, die nicht abgeschlossen sind bzgl. der Addition und/oder der Multiplikation, dann handelt es sich um keinen Vektorraum.
Ist das korrekt?

Auch das verstehe ich nicht - vielleicht reden wir an einander vorbei!
Was sind denn (a,b,c) ? Vektoren? Vektorkomponenten? Ich ging davon aus, dass a,b,c und t Vektoren sind....

Wie ist denn ein Vektorraum definiert? Vielleicht schaust du dir die Definitionen nochmal an.

WiBi · 23 Juni 2015

Ich glaube, du hast übersehen, dass x und t und auch a und c zum Quadrat stehen (Siehe meinen zweiten Beitrag). Ich schreib jetzt gerade am Smartphone und krieg einfach die Hochzahl nicht geschrieben

Somit gibt es für die Aufgabe a) wirklich nur die Nulllösung.

Lt. Definition ist eine Gleichung dann ein Vektorraum (Unterraum), wenn sie linear und homogen ist. Ist sie das nicht, so muss durch ein Gegenbeispiel bzgl. der Abgeschlossenheit der Addition oder der skalaren Multiplikation gezeigt werden, dass es sich tatsächlich um keinen Vektorraum handelt.

Somit ist Aufgabe a) für x=0 und t=0 ein Vektorraum.

Aufgabe b) hingegen ist nicht abgeschlossen bzgl. der Addition (siehe letzten Beitrag) und folglich auch kein Vektorraum.

WiBi · 23 Juni 2015

Soll dein "gefällt mir" mir jetzt bedeuten, ich hab das richtig verstanden? :freu2:

Basströte · 23 Juni 2015

WiBi schrieb:
Ich glaube, du hast übersehen, dass x und t und auch a und c zum Quadrat stehen (Siehe meinen zweiten Beitrag). Ich schreib jetzt gerade am Smartphone und krieg einfach die Hochzahl nicht geschrieben

Somit gibt es für die Aufgabe a) wirklich nur die Nulllösung.

Da hast du wohl recht - ich hatte in kurzer geistiger Umnachtung deinen zweiten Post vergessen.

Lt. Definition ist eine Gleichung dann ein Vektorraum (Unterraum), wenn sie linear und homogen ist. Ist sie das nicht, so muss durch ein Gegenbeispiel bzgl. der Abgeschlossenheit der Addition oder der skalaren Multiplikation gezeigt werden, dass es sich tatsächlich um keinen Vektorraum handelt.

Somit ist Aufgabe a) für x=0 und t=0 ein Vektorraum.

Aufgabe b) hingegen ist nicht abgeschlossen bzgl. der Addition (siehe letzten Beitrag) und folglich auch kein Vektorraum.

Was sind denn nun in Aufgabe b.) a,b und c?
Ich lese die Augabe, wie du sie schreibst, folgendermaßen:

"Es seien die Vektoren a,b und c für die gilt, dass a2-c2 der Nullvektor sei, wobei a,b und c Element des reellen Raums sind."

Hier liegt genau mein Problem, weswegen ich nach der Augabenstellung fragte. Deine Schreibweise impliziert für mich, dass a,b und c Skalare aus dem Körper der reellen Zahlen sind. Da komm ich nicht mehr so ganz mit, was genau du jetzt wissen willst, bzw. was in der Aufgabe eigentlich gefragt ist.

Deine Definition eines Vektorraums hab ich so auch noch nie gehört - woher stammt die denn?

WiBi · 23 Juni 2015

Die Definition stammt aus dem Buch "Mathematik - anschaulich dargestellt" von Dörsam.

Also durch die Gleichung soll ein Vektorraum begrenzt werden.

destrofred · 14 August 2015

Die Abgeschlossenheit bezieht sich mWn auf Unterräume.
Also müsste die Aufgabenstellung mMn eigentlich korrekt lauten:
"Sind a) und b) Unterräume des Vektorraums R^3?"

Edit: Hups, bei a) muss es natürlich ein Unterraum von R^4 sein.