Sonstige Aufgaben Public Choice - ÜA 4c)

Hallo zusammen,

ich versuche gerade die Musterlösung zu Aufgabe 4c) auf Seite 123 der KE2 nachzuvollziehen.

Ich verstehe zwei Dinge nicht.
Zum einen, weshalb die Steigung der Indifferenzkurve dUi = 0 sein soll. Müsste ich dafür nicht die partiellen Ableitungen, also Ui nach z und Ui nach x bilden und diese jeweils null setzen? Das jedoch kann ja gar nicht klappen, weil die partielle Ableitung Ui nach x = 1 beträgt.

Außerdem ist die errechnete Steigung für mich nicht einleuchtend. In der Musterlösung wird sie mit dxi/dz = -(alpha)*z^(alpha)-1 angegeben. Ich jedoch komme auf (alpha)*z^(alpha)-1 + 1.
Wo ist in der Musterlösung also die Ableitung nach x hin und weshalb wird der (alpha)*z^(alpha)-1 auf einmal negativ?

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen, vielen Dank schon mal.

Nachtrag: Mittlerweile habe ich herausgefunden, dass die Funktionsgleichung einer Indifferenzkurve nur die nach x umgestellte Nutzenfunktion ist. D.h. in diesem Fall also xi=Ui-z^(alpha). Wenn man diese xi-Funktion nun nach z ableitet, soll man wohl auf die Lösung im Skript kommen.
Allerdings bedeutet diese Funktion ausgeschrieben ja: xi=z^(alpha)+xi-z^(alpha) ... oder wird Ui hier dann selbst wie eine Variable behandelt und wird beim Ableiten nach z schlichtweg 0, da es als Variable kein z mehr enthält?

Außerdem habe ich auch nicht wirklich verstanden, wieso man die Nutzenfunktion nach xi umstellen muss, sondern nur, dass man dies tun muss. Es wäre echt klasse, wenn jemand mir das erklären könnte.