Sonstige Aufgaben Übungsklausur 06/2008

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Master of Science
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Bachelor of Laws
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Vlt. könnt ihr mir weiterhelfen. Meine Frage bezieht sich auf Aufgabe 2d). Vom FCF ab t=4 wird die ewige Rente berechnet. Das kann ich nachvollziehen. Wie komme ich auf den Barwert der ewigen Rente? In der Musterlösung wird nur bis zum Zeitpunkt t=1 abgezinst, warum nicht bis t=0?

Danke schon mal!
 

Münchner Kindl

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Ich habe das Fach zwar nicht belegt, aber das klingt mir verdächtig nach etwas, mit dem ich mich gerade in Finanzwirtschaft befasse.

Könntest Du mir diese Klausur mit Musterlösung mal bitte schicken?
Edit: konnte auch so in das Moodle von Konzerncontrolling kommen, schau' sie mir jetzt an.

Mal schauen, ob ich daraus klug werde ;-)
 
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Ich habe das Fach zwar nicht belegt, aber das klingt mir verdächtig nach etwas, mit dem ich mich gerade in Finanzwirtschaft befasse.

Könntest Du mir diese Klausur mit Musterlösung mal bitte schicken?
Edit: konnte auch so in das Moodle von Konzerncontrolling kommen, schau' sie mir jetzt an.

Mal schauen, ob ich daraus klug werde ;-)
Das ist aber lieb von dir. Ja, diese gefühlten 1001 verschiedenen CF waren auch schon in Finanzwirtschaft dran.
 

Münchner Kindl

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Musterlösung Übungsklausur 17.6.2008

Eine ewige Rente, die jährlich 158 abwirft und in t=4 startet, hat bei einem Kalkulationszins von 7,8% in t=3 den Wert:

C3 = $\frac{g}{i}$ = $\frac{158}{0,078}$ = 2.025,64 €

Da man aber den Barwert in t=0 will, muß man um 3 Jahre abzinsen:

C0 = $\frac{2.025,64}{{1,078}^3}$ = 1.616,99 €

Herleitung für ewige Rente:

Fall 1: ewige Rente, die nicht anwächst

Wenn wir eine unendliche Reihe hätten, die nicht wächst also:

upload_2014-3-16_18-17-58.png

Dann wäre der Barwert dieser Reihe in t=0:

C = 0 + g∙RBF(t→∞, i)
mit q = 1+i
i = Kalkulationszins​

= g∙$\frac{1 - q^{-t}}{i}$

= g∙$\frac{1 - 0}{i}$, da q-∞ = $\frac{1}{q^{\infty}}$ gegen Null strebt, da q>1.

= $\frac{g}{i}$

Hier in der Aufgabe hat die unendliche Reihe aber erst in t=4 angefangen, und diese Formel liefert uns nur den Barwert im Jahr bevor die Reihe anfing, sprich in t=3.

Da wir aber den Barwert im Jahr t=0 wollen, müssen wir also das Ganze noch um 3 Jahre mit dem Kalkulationszins i abzinsen:
$\frac{g}{i}\frac{1}{(1+i)^3}$​



Fall 2: ewige Rente, die um ω% jedes Jahr wächst (ist hier nicht relevant, aber nur so als Exkurs :-))

upload_2014-3-16_18-18-16.png

Leiten wir den Barwert dieser Reihe in t=0 her (also in dem Jahr bevor die erste Zahlung erfolgte):

C = 0 + $\frac{g}{1+i}$ + $\frac{g(1+\omega)}{(1+i)^2}$ + $\frac{g(1+\omega)^2}{(1+i)^3}$ + ... + $\frac{g(1+\omega)^{t-1}}{(1+i)^t}$

= $\sum\limits_{t=1}^{\infty} g\frac{(1+\omega)^{t-1}}{(1+i)^t}$

= $\sum\limits_{t=1}^{\infty} g(1+\omega)^{-1}\frac{(1+\omega)^{t}}{(1+i)^t}$

mit p = $\frac{1+\omega}{1+i}$

= $\frac{g}{1+\omega}\sum\limits_{t=1}^{\infty} p^t$
mit geometrischer Reihe:
p0 + p1 + p2 + p3 + ... + pn
= 1 + p1 + p2 + p3 + ... + pn
= 1 + $\sum\limits_{t=1}^{n} p^t$
= $\frac{p^{n+1}-1}{p-1}$

→ $\sum\limits_{t=1}^{n} p^t$ = p1 + p2 + p3 + ... + pn = $\frac{p^{n+1}-1}{p-1}$ - 1​

= $\frac{g}{1+\omega}(\frac{p^{n+1}-1}{p-1} - 1)$
einsetzen von p = $\frac{1+\omega}{1+i}$:​

= $\frac{g}{1+\omega} (\frac{(\frac{1+\omega}{1+i})^{n+1}-1}{\frac{1+\omega}{1+i}-1}-1)$

= $\frac{g}{1+\omega} (\frac{(\frac{1+\omega}{1+i})^{n+1}-1}{\frac{1+\omega-1-i}{1+i}}-1)$
falls i > ω, d.h. Kalkulationszins größer als Wachstumsrate, dann strebt der 1. Ausdruck im Zähler gegen 0 für (n+1)→∞​

= $\frac{g}{1+\omega} (\frac{0-1}{\frac{\omega-i}{1+i}}-1)$

= $\frac{g}{1+\omega} (\frac{(-1(1+i)}{\omega-i}-1)$

= $\frac{g}{1+\omega} \frac{(-1-i-\omega+i)}{\omega-i}$

= $\frac{g}{1+\omega} \frac{(-1-\omega)}{\omega-i}$

= $\frac{g}{1+\omega} \frac{1+\omega}{i-\omega}$


= $\frac{g}{i-\omega}$ q.e.d.
 
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Danke und so ausführlich! Leider ist im Übungsbuch auch eine ähnliche Aufgabe, und hier wird wieder auf t=1 abgezinst, Mist! Vlt. hast du auch das Übungsbuch und eine neuere Ausgabe als ich und kannst dort mal schauen. Ich habe die 1. Auflage von 2008.
 
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Ich habe es, du hast es oben schon geschrieben. Der Wert der Rente bezieht sich auf t=3! Ich war irrtümlich davon ausgegangen, dass der Barwert sich auf t=4 bezieht. Danke, deine Ausführungen oben haben mir beim zweiten Lesen die Erleuchtung gebracht. Daaaanke!
 

Münchner Kindl

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Ja, ich habe beide Übungsbücher von Littkemann in der neuesten Auflage.

Du meinst wohl die Aufgabe 26 "Kapitalrendite/Unternehmensbewertung" in Band 1, 2. Auflage vom Sept. 2010?

Dort haben sie es bei mir richtig gerechnet:

  • Ewige Rente, die ab t=4 120€ abwirft
  • Kalkulationszins 6,5%
d.h.

in dem Jahr vor dem Start der Rente, also in t=3 ist der Barwert $\frac{g}{i}$ = $\frac{120}{0,065}$ = 1.846,15€

Dann zinsen sie das korrekterweise um 3 Jahre ab, um in t=0 zu gelangen:

$\frac{1.846,15}{{1,065}^3}$ = 1.528,34 € (das steht bei mir ganz rechts in der Zeile "Barwerte zum 31.12.t0")
 
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Auch in der ML zur Übungsklausur steht korrekt Barwert zum 31.12.t=0. Ich hatte aber im ersten Anlauf die 2025,64 um 4 Jahre abgezinst. Durch das Lesen deiner Ausführungen oben ist bei mir der Groschen gefallen, dass ich diese 2025,64 nur noch um 3 Jahre abzinsen muss :-). Alles klar jetzt und vielen Dank!
 

Münchner Kindl

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Übrigens, die Übungsaufgabe 14 des Online-Mentors Dr. Rosso hat in der letzten Teilaufgabe eine ewige Rente, die jedes Jahr um 2% steigt, also mit Wachstumsrate ω = 2%.

Kann also bestimmt nicht schaden, sich auch die zweite Formel für den Barwert im Jahr bevor die Rente anfängt:
Barwert C = $\frac{g}{i-\omega}$​
zu merken ;-)
 
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