Musterlösung Übungsklausur 17.6.2008
Eine ewige Rente, die jährlich 158 abwirft und in t=4 startet, hat bei einem Kalkulationszins von 7,8%
in t=3 den Wert:
C
3 = $\frac{g}{i}$ = $\frac{158}{0,078}$ = 2.025,64 €
Da man aber den Barwert in t=0 will, muß man um 3 Jahre abzinsen:
C
0 = $\frac{2.025,64}{{1,078}^3}$ =
1.616,99 €
Herleitung für ewige Rente:
Fall 1: ewige Rente, die nicht anwächst
Wenn wir eine unendliche Reihe hätten, die
nicht wächst also:
Dann wäre der Barwert dieser Reihe in t=0:
C = 0 + g∙RBF(t→∞, i)
mit q = 1+i
i = Kalkulationszins
= g∙$\frac{1 - q^{-t}}{i}$
= g∙$\frac{1 - 0}{i}$, da q
-∞ = $\frac{1}{q^{\infty}}$ gegen Null strebt, da q>1.
= $\frac{g}{i}$
Hier in der Aufgabe hat die unendliche Reihe aber erst in t=4 angefangen, und diese Formel liefert uns nur den Barwert im Jahr bevor die Reihe anfing, sprich in t=3.
Da wir aber den Barwert im Jahr t=0 wollen, müssen wir also das Ganze noch um 3 Jahre mit dem Kalkulationszins i abzinsen:
$\frac{g}{i}\frac{1}{(1+i)^3}$
Fall 2: ewige Rente, die um ω% jedes Jahr wächst (ist hier nicht relevant, aber nur so als Exkurs
)
Leiten wir den Barwert dieser Reihe in t=0 her (also in dem Jahr
bevor die erste Zahlung erfolgte):
C = 0 + $\frac{g}{1+i}$ + $\frac{g(1+\omega)}{(1+i)^2}$ + $\frac{g(1+\omega)^2}{(1+i)^3}$ + ... + $\frac{g(1+\omega)^{t-1}}{(1+i)^t}$
= $\sum\limits_{t=1}^{\infty} g\frac{(1+\omega)^{t-1}}{(1+i)^t}$
= $\sum\limits_{t=1}^{\infty} g(1+\omega)^{-1}\frac{(1+\omega)^{t}}{(1+i)^t}$
mit p = $\frac{1+\omega}{1+i}$
= $\frac{g}{1+\omega}\sum\limits_{t=1}^{\infty} p^t$
mit geometrischer Reihe:
p0 + p1 + p2 + p3 + ... + pn
= 1 + p1 + p2 + p3 + ... + pn
= 1 + $\sum\limits_{t=1}^{n} p^t$
= $\frac{p^{n+1}-1}{p-1}$
→ $\sum\limits_{t=1}^{n} p^t$ = p1 + p2 + p3 + ... + pn = $\frac{p^{n+1}-1}{p-1}$ - 1
= $\frac{g}{1+\omega}(\frac{p^{n+1}-1}{p-1} - 1)$
einsetzen von p = $\frac{1+\omega}{1+i}$:
= $\frac{g}{1+\omega} (\frac{(\frac{1+\omega}{1+i})^{n+1}-1}{\frac{1+\omega}{1+i}-1}-1)$
= $\frac{g}{1+\omega} (\frac{(\frac{1+\omega}{1+i})^{n+1}-1}{\frac{1+\omega-1-i}{1+i}}-1)$
falls i > ω, d.h. Kalkulationszins größer als Wachstumsrate, dann strebt der 1. Ausdruck im Zähler gegen 0 für (n+1)→∞
= $\frac{g}{1+\omega} (\frac{0-1}{\frac{\omega-i}{1+i}}-1)$
= $\frac{g}{1+\omega} (\frac{(-1(1+i)}{\omega-i}-1)$
= $\frac{g}{1+\omega} \frac{(-1-i-\omega+i)}{\omega-i}$
= $\frac{g}{1+\omega} \frac{(-1-\omega)}{\omega-i}$
= $\frac{g}{1+\omega} \frac{1+\omega}{i-\omega}$
= $\frac{g}{i-\omega}$ q.e.d.