Einsendeaufgaben EA-Besprechung WS 2016/17 EA1 42220 (05.01.2017)

Mein Lösungsvorschlag für die Aufgabe 1:
a)
f'x1(...)=-0,25x13+15x12+12x1x2
f'x2(...)=-24x22+6x12
b)
f''x1x1(...)=-0,75x12+30x1+12x2
f''x2x2(...)=-48x2
c)
-24x22+6x12=0
x2=1/2x1 --> x1=0; x2=0
-0,25x13+15x12+12x1*1/2x1=0
0,25x13=21x12
x1=84
x2=1/2*84=42
d)
f(84,42)=-0,0625*844+5*843-8*423+6*842*42-50.000
f(84,42)=987.232
e)
[x2=-18 ≠ ∈ R+]
Nichtnegativitätsbedingung aus Aufgabenstellung (x1,x2>=0)
 
zu Aufgabe 2:
a)
3/10.000x2+8/10.000x3<=4
b)
max z=1,1x1+1,2x2+1,6x3
U.d.N.: x1+x2+x3<=10.000
x3<=7.000
3/10.000x2+8/10.000x3<=4
x1,x2,x3,s1,s2,s3>=0
c) und d)
Das Tableau wäre hier ein wenig unübersichtlich. ;)
e)
max z=13.500
mit
x1=A1=5.000
x2=A2=0
x3=A3=5.000
f)
s2=2.000 zeigt an, dass wir die Restriktion (max. 7.000€ in Anlage 3) noch nicht voll ausgereizt haben.
Wenn 7.000 in A3 investiert wird, muss ein negativer Beitrag in A2 das Risiko ausgleichen, damit die "4" nicht überschritten wird.
3/10.000*x+8/10.000*7.000=4
x=-16.000/3 (in Anlage A2)
Den Rest des Geldes in die Risikofreie Anlage A1: 10.000-7.000+16.000/3=25.000/3.
Unter der Einhaltung der Restriktionen erhält man dann:
max z=1,1*25.000/3+1,2*(-16.000/3)+1,6*7.000=13.966,67
Die Möglichkeit von Leerverkäufen erhöht den maximalen Endwert.
(Evtl. hat jemand hierfür eine kürzere Lösung?)
 
@Stewo
ich habe eine Frage zu Deiner Lösung zu 1c):
Wie genau kommst Du von
-0,25(x1)^3+15(x1)^2+12(x1)*1/2(x1)=0
-0,25(x1)^3+15(x1)^2+6(x1)=0

auf:
0,25(x1)^3=21(x1)^2
und anschließend auf die (x1)=84?

Kannst Du mir da einmal deine genauen Rechenschritte erklären? Ich kann doch 15*(x1^2) nicht mit 6*(x1) addieren? Irgendwie bist Du ja auch die richtige Lösung gekommen, mir erschließt sich Dein weg gerade nur nicht. Wäre total toll, wenn Du das einmal aufschlüsseln könntest!

Lieben Dank!
 
Hallo Glaciesflora,

in der Gleichung
-0,25(x1)^3+15(x1)^2+12(x1)*1/2(x1)=0
kann man zunächst den letzten Teil zusammenrechnen: 12(x1)*1/2(x1) = 6(x1)^2
dann sieht das Ganze so aus:
-0,25(x1)^3+15(x1)^2+6(x1)^2=0
hier kann man jetzt die beiden (x1)^2-Werte zusammenfassen:
-0,25(x1)^3+21(x1)^2=0
dann auf beiden Seiten +0,25(x1)^3 rechnen:
0,25(x1)^3=21(x1)^2
hier beide Seiten mal 4 rechnen:
(x1)^3=84(x1)^2
und jetzt noch beide Seiten geteilt durch (x1)^2 ergibt:
(x1)=84

Viele Grüße
 
Hi Stewo,

habe meine Lösungen mal mit deinen verglichen und komme auf gleiche Ergebnisse. Lediglich bei der 1b) müsstest du noch die Ableitung von fx1x2=fx2x1 machen. Bei der 2c) ist x2= +/- 1/2 x1 wegen der Wurzel...

Hier mal meine Vorschläge zur 3). Würde mich über einen Austausch freuen!

3A) Falsch, da IAI= -18+6a-5b
3B) Richtig, da Det = -18+6a-30 = -48+6a, wenn A keinen vollen Rang hat folgt daraus, dass Det(A) = 0 und löst man die Gleichung nach a auf erhält man a = 8.
3C) Richtig. Habe die Diagonalelemente (links oben nach rechts unten) durch - Lambda ergänzt und die Det. berechnet. Danach komme ich durch Polynomdivison und Lösen der quadratischen Gleichung auf die Eigenwerte 2,9 und -1. Wahrscheinlich geht das einfacher... weiß jmd. wie?
3D) Falsch, da die Diagonalelemente (links unten nach rechts oben) ein positives Vorzeichen haben.

3E und 3F habe ich noch nicht bearbeitet, da ich auf Anhieb nicht wusste wie... Weiß jemand wie?
 
Carrera schrieb:
habe meine Lösungen mal mit deinen verglichen und komme auf gleiche Ergebnisse. Lediglich bei der 1b) müsstest du noch die Ableitung von fx1x2=fx2x1 machen. Bei der 2c) ist x2= +/- 1/2 x1 wegen der Wurzel...
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Korrekt! :-)
Carrera schrieb:
sehe gerade, dass bei studienservice wesentlich mehr ausgetauscht wird... konnte dort meine Ergebnisse schon gegengleichen ;)
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Über die Facebook Gruppe für dieses Modul kannst du dich auch in die Whatsapp Gruppe aufnehmen lassen. Da wird sich auch viel ausgetauscht.
VG
 
Hallo Stewo,

die Aufgaben A1a und A1b habe ich genauso. Doch jetzt eine Frage zu A1c:

Wieso wird aus -0,25x13+15x12+12x1x2 auf einmal -0,25(x1)^3+15(x1)^2+12(x1)*1/2(x1) ...also gerade der letzte Term:

12x1x2 => 12(x1)*1/2(x1).. Da steh ich grad voll auf dem Schlauch. Wie und warum formt man das um?

Danke!
 
Hallo Stefanie,
bei c) ist die Aufgabe, die Werte für x1 und x2 herauszubekommen. Dafür nimmt man die ersten beiden Ableitungen nach x1 und x2 aus der Aufgabe a) und setzt diese Null:
-0,25(x1)^3+15x(1)^2+12x1x2=0
-24(x2)^2+6(x1)^2=0
Die 2. Gleichung kann man dann so umformen, dass (x2)=+-1/2(x1) herauskommt. Und jetzt kann man den (x2)-Wert in der ersten Gleichung gegen 1/2(x1), austauschen, da ja die Gleichung (x2)=+-1/2(x1) gilt.
Da jetzt nur noch (x1) Werte in der ersten Gleichung vorkommen, kann man jetzt nach (x1) auflösen und den genauen Wert bestimmen. (x1)=84. Diesen Wert kann man dann wiederrum einsetzen in die Gleichung (x2)= 1/2(x1), also (x2)=42.
VG
 
Carrera schrieb:
Hi Stewo,

habe meine Lösungen mal mit deinen verglichen und komme auf gleiche Ergebnisse. Lediglich bei der 1b) müsstest du noch die Ableitung von fx1x2=fx2x1 machen. Bei der 2c) ist x2= +/- 1/2 x1 wegen der Wurzel...

Hier mal meine Vorschläge zur 3). Würde mich über einen Austausch freuen!

3A) Falsch, da IAI= -18+6a-5b
3B) Richtig, da Det = -18+6a-30 = -48+6a, wenn A keinen vollen Rang hat folgt daraus, dass Det(A) = 0 und löst man die Gleichung nach a auf erhält man a = 8.
3C) Richtig. Habe die Diagonalelemente (links oben nach rechts unten) durch - Lambda ergänzt und die Det. berechnet. Danach komme ich durch Polynomdivison und Lösen der quadratischen Gleichung auf die Eigenwerte 2,9 und -1. Wahrscheinlich geht das einfacher... weiß jmd. wie?
3D) Falsch, da die Diagonalelemente (links unten nach rechts oben) ein positives Vorzeichen haben.

3E und 3F habe ich noch nicht bearbeitet, da ich auf Anhieb nicht wusste wie... Weiß jemand wie?
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Hi Carrera,

zu 3E kann ich dir helfen. 3F muss ich selber noch schauen.

3E) WAHR weil /\yn= (n+1)^3 - n^3 =(n^3+3n^2+3n+1) - n^3 = 3n^2+3n+1

LG
 
Habe für A2c mich am Anfangstableau versucht. Pivoelement (falls man es nicht so gut erkennt) ist 0,0008.

Was denkt ihr?
 

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Hey, also grundsätzlich ist das Tableau nicht verkehrt. Kann man so lassen. :)
In den Beispielaufgaben und auch unter 2d) wird die Zielfunktionszeile allerdings mit Minuswerten hingeschrieben. Wenn du Pluswerte dahin schreibst, geht es auch, dann muss man aber zum Schluss das max-Ergebnis noch "mal (-1)" rechnen.
Ich glaube, es ist einfacher die Schreib- und Rechenweise der FernUni zu übernehmen, dann kommt man in der Klausur nicht so schnell durcheinander.
VG
 
Hallo Stewo,

du scheinst hier echt den Durchblick zu haben. Daher noch eine Frage zu A2f:

ich habe mich nicht so sehr an die vorgegebenen Restriktionen gehalten, sondern einfach für x1, x2 oder x3 negative Werte vorgegeben und damit errechnet, dass im Fall eines negativen X-Wertes das optimale Ergebnis sinkt...

Beispiel: x2 = -2.000
1,1 * 5.000 + 1,2 * (-2.000) + 1,6 * 5.0000 = 11.1000

Ist die Herangehensweise falsch?
 
Stewo schrieb:
zu Aufgabe 2:
a)
3/10.000x2+8/10.000x3<=4
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Bei Aufgabe 1 bin ich ganz bei euch, aber zu Deiner Lösung von 2a) bin ich anderer Meinung:
Du hast hier für B schon die maximalen 10000 eingesetzt. Ich habe mit B=x1+x2+x3 gerechnet und das weiter umgeformt. Damit kam ich dann im Simplex auch einige Schritte später genau zu dem Zwischentableau, das in der Aufgabe angegeben war. Mit B=10000 kamen immer nur komische Sachen raus.
Bei mir lautet die NB in 2a) deswegen:
(3x2+8x3)/B<=4 ->
(3x2+8x3)/(x1+x2+x3)<=4 ->
3x2+8x3<=4x1+4x2+4x3 ->
-4x1-x2+4x3<=0 ->
-x1-0,25x2+x3<=0

Das habe ich dann als eine Zeile in mein Anfangstableau geschrieben.
 
Stewo schrieb:
zu Aufgabe 2:
f)
s2=2.000 zeigt an, dass wir die Restriktion (max. 7.000€ in Anlage 3) noch nicht voll ausgereizt haben.
Wenn 7.000 in A3 investiert wird, muss ein negativer Beitrag in A2 das Risiko ausgleichen, damit die "4" nicht überschritten wird.
3/10.000*x+8/10.000*7.000=4
x=-16.000/3 (in Anlage A2)
Den Rest des Geldes in die Risikofreie Anlage A1: 10.000-7.000+16.000/3=25.000/3.
Unter der Einhaltung der Restriktionen erhält man dann:
max z=1,1*25.000/3+1,2*(-16.000/3)+1,6*7.000=13.966,67
Die Möglichkeit von Leerverkäufen erhöht den maximalen Endwert.
(Evtl. hat jemand hierfür eine kürzere Lösung?)
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Eine kürzere Lösung nicht, aber man kann das auch mit einem weiteren Pivotschritt rechnen, indem man x2 neu in die Basis aufnimmt. Dann kommen dieselben Werte raus wie bei Dir oben genannt.
 
stefaniemichlick schrieb:
Hallo Stewo,

du scheinst hier echt den Durchblick zu haben. Daher noch eine Frage zu A2f:

ich habe mich nicht so sehr an die vorgegebenen Restriktionen gehalten, sondern einfach für x1, x2 oder x3 negative Werte vorgegeben und damit errechnet, dass im Fall eines negativen X-Wertes das optimale Ergebnis sinkt...

Beispiel: x2 = -2.000
1,1 * 5.000 + 1,2 * (-2.000) + 1,6 * 5.0000 = 11.1000

Ist die Herangehensweise falsch?
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Ja, weil Du nicht berücksichtigst, dass Du für das "freiwerdende Geld" ja noch x1 und x3 kaufen kannst.
 
Bei 3F habe ich folgende Überlegung (ohne Gewähr, vielleicht liege ich auch total falsch):
Nach Trennung der Variablen erhält man:
Integral 1/y dt = Integral 1dt
↔ ln y = t + C
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet dann:
y = e^(t+C) = e^C∙ e^t = c∙e^t
Setzt man das Anfangswertproblem ein, so muss gelten:
y(-1) = c∙e^(-1) = 1
Damit dies gilt, muss c = 1/e^(-1) sein.
Die Lösung des Anfangswertproblems lautet also y(t) = 1/e^(-1)∙e^t.
Die Aussage ist also falsch.

Wie ist eure Meinung?
 
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