Hilfe zur Klausuraufgabe Klausur Sep 2015 (SS 2015)

Hallo zusammen,
hier sind meine Lösungen zum Mathe-Teil 09/15

Aufgabe 1:
a)
f'x1 (x1, x2) = -6x1² + 24 x2
f'x2 (x1, x2) = 24x1 - 6 x2²

b) und jeweils die zweite Ableitung
-12x1
24
24
-12x2
c) Hesse-Matrix mit denselben Werten

d) x1 = 5, x2 = 2,5
e1) Lambda-Funktion: "Produktionsfunktion" + Lambda (x1+x2-7)
e2) Ableitungen: wie die oberen ersten Ableitungen und den jeweiligen Lambda-Ableitungen
e3) die Werte x2 = 4 und x1 = 3 in die Hesse-Matrix eingesetzt somit auf ein lokales Maximum gekommen.

Aufgabe 2:
a) max z= 50 x1 + 20 x2 + 80 x3
u. d. NB.: 3 x1 + 2 x2 + 4 x3 <70
0,5 x1 + 3 x2 + 2x 3 < 29
x1 + 4 x2 + 5 x3 < 75

b) Pivot-Element: 2
c) Simplex-Tableau
d) x1= 6, x2=0, x3= 13
e) Gewinn: 1340 Euro
f) nicht nötig, da 1*6+4*0+5*13 = 71 < 74

Aufgabe 3:
a)
0,8 0,2
0 1,1
b) lambda 1: 1,1, lambda 2: 0,8

c und d nicht gelöst

Aufgabe 4:
a) falsch. Die Inverse der Matrix ergibt bei mir:
0 -1/5
4/9 3/9
b) falsch. falsche Ableitung von Wurzel x hoch 3
c) keine Ahnung

ALLES ohne Gewähr und reichlicher Unsicherheit;) Würde mich freuen, wenn ihr Fehler entdeckt. Unklarheiten können wir
gerne gemeinsam klären.

LG

Hallo @Satilinka ,

kannst du mir bitte verraten, warum bei 2d die Werte x1 = 6, x2 = 0, x3 = 13 sind?

Ich sitze gerade vor dem fertigen Tableau, allerdings kann ich die Werte nicht richtig interpretieren.

Beste Grüße
Josef

Hallo @JosefZ
habe meine Unterlagen noch nicht verbrannt, drum konnte ich meine Lösung schnell abfotografieren. ABER OHNE GEWÄHR.

Super, vielen Dank!!

Kann mir zufällig jemand bei dem Lösungsweg zur Aufgabe 3 helfen?

Hallo. Gibt es zufällig noch andere, die diese Klausur durchrechnen und an Aufgabe 3 hängen?

Ich habe folgende Lösungen (Abweichungen und Ergänzungen zu oben rot):

Aufgabe 1

a)
fx1 (x1, x2) = -6 x1² + 24 x2
fx2 (x1, x2) = 24 x1 - 6 x2²

b)
fx1, x1 (x1, x2) = -12x1
fx1, x2 (x1, x2) = 24 = fx2, x1 (x1, x2)
fx2, x2 (x1, x2) = -12x2

c) Hesse-Matrix
(-12 x1 / 24 // 24 / -12 x2)

d)
2 mögliche Lösungen: x1 = 0, x2 = 0 ODER x1 = 4, x2 = 4
f (0, 0) = 300 (entspricht Lagerbestand und damit Produktion = 0 ME)
f (4, 4) = 428 (Produktion von 128 ME)

e1)
L (x1, x2, Lb) = "Produktionsfunktion" + Lb (x1 + x2 - 7)

e2)
Lx1 = -6x12 + 24x2 + lb = 0
Lx2 = 24x1 - 6x22 + lb = 0
Llb = x1 + x2 - 7 = 0

e3)
x2 = 4 und x1 = 3 in Bedingungen von e2) eingesetzt ergibt einen Widerspruch, damit kann es sich nicht um eine Lösung des Gleichungssystems handeln -> kein lokales Extremum

Aufgabe 2

a) max z = 50 P1 + 20 P2 + 80 P3
u. d. NB.:
3 P1 + 2 P2 + 4 P3 =< 70
0,5 P1 + 3 P2 + 2 P3 =< 29
P1 + 4 P2 + 5 P3 =< 75

b)
Pivot-Element: 2

c)
Simplex-Tableau

d)
P1 = 6
P2 = 0
P3 = 13

e) Gewinn: 1340 Euro

f)
Ablesen aus Simplex-Tableau zeigt, dass von P6 (Arbeitszeit) noch 4 Einheiten übrig sind, damit ist eine Arbeitszeiterhöhung nicht notwendig und außerhalb auch nicht sinnvoll, da P4 und P5 (Rohstoffe R1 und R2) in der optimalen Lösung 0 sind und damit den limitierenden Faktor darstellen.

Aufgabe 3

a)
(0,8 - lb / 0,2 // 0 / 1 - lb)

b)
lb1: 1,1
lb2: 0,8

-> da es sich um ein Wachstum handeln soll ist 1,1 der gesuchte Eigenwert

c)
(0,8 - 1,1 / 0,2 // 0 / 1 - 1,1)

Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
-0,3XB + 0,2XE = 0
-0,1XE = 0

Die Lösung des Gleichungssystems ergibt xB = 2/3 XE

Weiter bin ich hier nicht gekommen

d)
xB = 200 und lb = 1,1 in die angegebene Funktion für die Abteilung Beratung einsetzen und nach xE auflösen
xE = 300

Aufgabe 4

a)
Richtig

det (5/34 / 1/34 // 2/17 / -3/17) = -1/34

1/det (6 / 1 // 4 / -5) = -1/34

b)
Falsch

Ableitung von f nach x muss heißen (3/2)x1/2

c)
Falsch

x = 0,5 und y = -2 in die DGL einsetzen und nach y' auflösen
y' = 16

Die Ableitung von y = 0,5e1/(2x2) bilden ergibt y' = 1/x e1/(2x2)

Hier nun die gegebene Lösung x = 0,5 und y = -2 einsetzen liefert y' = 14,778 (Widerspruch zu y' = 16)