Frage zu Modul/Klausur Nutzenmaximierung des HH. (KE1, Seite 33)

Hallo,

ich habe eine Frage zur Nutzenmaximierung. Ich kann nicht verstehen wohin, um Himmels Willen, auf einmal das Minuszeichen verschwindet.
Also, bis hierher ist es noch logisch. Der sich aus der totalen Differenzierung ergebende Term lautet.

dX2/dX1 /- Ux1/Ux2

jetzt hatte ich mir vorab notiert.
Steigung der Indifferenzkurve (Isoquante) = Steigung der Budgetgeraden
GRS = -p1/p2 wobei GRS = -dX2/dX1
d.h. -p1/p2 = -dX2/dX1 oder p1/p2 = dX2/dX1
das bedeutet für mich, beide Steigungskurven (Ableitungen) sind entweder gleichzeitig positiv oder negativ.

Wenn ich mir jetzt meinen Ausgangsterm (dX2/dX1 /- Ux1/Ux2) betrachte, setze ich doch (bei meiner Betrachtungsweise) für mein positives dX2/dX1 ein positives p1/p2 ein ( oder bei Vertauschen der Vorzeichen eben andersrum).
d.h. meine Lösung wäre: p1/p2 / - Ux1/Ux2 warum ist das falsch?. Um die Skriptlösung ( p1/p2 = Ux1/Ux2 ) zu erreichen müsste doch irgendwo stehen - p1/p2 / dX2/dX1

Irgendwo muss doch noch ein Denkfehler von mir sein. Hoffe jemand wird aus meinem Geschreibsel schlau und kann es mir erklären.

LG
Michael

mhf schrieb:

Um die Skriptlösung ( p1/p2 = Ux1/Ux2 ) zu erreichen müsste doch irgendwo stehen - p1/p2 / dX2/dX1

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Ich kenne das Skript zwar nicht, aber die Steigung der Budgetgeraden entspricht, wie oben angeführt dem negativen umgekehrten Preisverhältnis. Von daher unterliegst du keinem Denkfehler.

Hallo Bibo,
danke für deine schnelle Antwort. Dann müsste doch aber an meinen Ausgangsüberlegungen etwas falsch sein:

mhf schrieb:

Steigung der Indifferenzkurve (Isoquante) = Steigung der Budgetgeraden
GRS = -p1/p2 wobei GRS = -dX2/dX1
d.h. -p1/p2 = -dX2/dX1 oder p1/p2 = dX2/dX1
das bedeutet für mich, beide Steigungskurven (Ableitungen) sind entweder gleichzeitig positiv oder negativ.

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GRS = Grenzrate der Substitution

So wie ich mir das hergeleitet habe, scheint da tatsächlich ein Fehler zu liegen, nur wo? Bei mir entspricht die Steigung der Budgetgeraden dem positiven (und nicht wie es wohl richtig wäre, dem negativen) umgekehrten Preisverhältnis.
Manchmal scheint das Brett wirklich dick zu sein.....

LG
Michael

mhf schrieb:

d.h. -p1/p2 = -dX2/dX1 oder
das bedeutet für mich, beide Steigungskurven (Ableitungen) sind entweder gleichzeitig positiv oder negativ.

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Der Fehler liegt in dem negativen Vorzeichen vor dem Quotienten auf der rechten Seite (rot markiert). Wenn du die Budgetgleichung B=P1X1+P2X2 nach X2 auflöst und anschließend nach X1 differenzierst, dann erhälst du dX2/dX1=-P1/P2 und alles ist gut.

Hallo Bibo,

dank dir für deine Anmerkungen. Haben mir geholfen meine Denkfehler zu finden. Der saß schon ganz am Anfang :

Bei Steigung der Indifferenzkurve (Isoquante) = Steigung der Budgetgeraden ist das GRS natürlich nicht GRS = -p1/p2 sondern
GRS = p1/p2 schon passt wieder alles.

LG
Michael

Hey Leute, ich häng grad an derselben Stelle

Ich verstehe, dass wenn ich die Budgetgleichung umforme und differenziere alles richtig rauskommt, und mit der Grenzrate der Substitution ist soweit auch alles klar, das einzige was für mich keinen Sinn macht ist, warum wir die GRS im Skript Einf. VWL KE1 S.27 als -dx2/dx1 festgelegt haben?!

Zur Erklärung steht im Skript, dass mit dem negativen Vorzeichen berücksichtigt wird, dass die Indifferenzkurve fallend verläuft, das man also eine negative Steigung hat. So wie die GRS aber berechnet wird laut Skript ist sie wegen der Form der Indifferenzkurve sowieso negativ ohne noch ein zusätzliches Minus manuell einfügen zu müssen.

Und auf S.33 wird dann - um das Nutzenmaximum auszurechnen - die entsprechende Gleichung nach der GRS = der Steigung der Indifferenzkurve = +dx2/dx1 umgeformt um sie dann mit der Steigung der Budgetgeraden gleichzusetzen.

Kann mir das bitte bitte irgendjemand verständlich machen? Ich zerbreche mir schon seit 2 Tagen den Kopf drüber..

Danke und LG

Bibo schrieb:

Ich kenne das Skript zwar nicht

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Ich kenne das Skript immer noch nicht und ehrlich gesagt verstehe ich auch das Problem nicht so wirklich....

Bibo schrieb:

Ich kenne das Skript immer noch nicht und ehrlich gesagt verstehe ich auch das Problem nicht so wirklich....

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Vielen Dank für deine Mühe ich lass mir das jetzt nochmal ausführlich durch den Kopf gehen und hoffe, dass es dann Klick macht

Hallo @Bibo ,

danke nochmal für deine Hilfe!

Ich hab mir alles gründlich durch den Kopf gehen lassen & nochmal alles Relevante durchgelesen und nachgerechnet. Grundsätzlich ist das auch alles wunderbar sinnig nur bei einer Sache hänge ich leider immer noch

Ich weiß du hast das Skript nicht, deshalb zitiere ich jetzt mal was dort bei der Einführung der Indifferenzkurven gesagt wird:
"GRS= -delta x2/delta x1. Bei der Bewegung von A nach B.
GRS= -dx2/dx1 in einem bestimmtem Punkt zb B.
Mit dem negativen Vorzeichen des Quotienten wird berücksichtigt, dass die Indifferenzkurve fallend verläuft, dh eine negative Steigung aufweist."

Ich dachte zuerst das damit gemeint ist , dass das zusätzliche Minus da ist um sicherzustellen, dass für die Steigung auch sicher ein negativer Wert rauskommt, was aber keinen Sinn macht da für die Steigung sowieso ein negativer Wert rauskommen würde, den das Minus dann aufhebt.

Abgesehen davon wird die GRS von dir und auch an anderen Stellen entgegen der obigen Darstellung als GRS=dx2/dx1 beschrieben was auch für mich persönlich viel mehr Sinn macht...

Dh zusammengefasst ist meine Frage eigtl nur welchen Sinn es evtl haben könnte im Skript an dieser Stelle ein zusätzliches Minus einzufügen.
(Ein paar Seiten weiter wo die Steigungen der Indifferenzkurve und der Budgetgeraden gleichgesetzt werden ist das Minus dann auch wieder verschwunden)

Vielen Dank für die Geduld!

Wie du weißt, nimmt die als dx2/dx1 definierte GRS wegen des streng monoton fallenden Verlaufs der Isoquante immer einen negativen Wert an. Folglich nimmt -dx2/dx1 immer einen positiven Wert an. Es handelt sich hier also um die positiv definierte GRS. Ich hoffe, deine Verwirrung hiermit nunmehr endgültig beendet zu haben. Das Problem ist halt, dass sich Buch- und Skriptschreiber manchmal schlecht in das Hirn des (noch) nicht Sachkundigen hineinversetzen können und nicht ahnen, an welchen Stellen es bei Lesern haken wird, da für sie selber ja immer alles hochgradig trivial ist.

Achsoooo.. Die wollen also einfach, dass man als Wert für die GRS was positives hat weils ja auch nur positive Güter gibt die man gegeneinander substituieren könnte.
Ich hatte das kurz in Betracht gezogen aber dann wieder verworfen weils aus meiner sicht sowieso klar war, dass wenn ich den Wert -1/5 habe damit gemeint ist dass an dieser Stelle 1 stück Gut A gegen 5 stück gut B ausgetauscht wird. Aber mit deiner bestätigung jetzt, akzeptier ich das einfach mal als richtige lösung und kann dieses leidige Thema endlich abschließen, danke!

Nochmal zur Erläuterung zu Bibos handschriftlichen Notizen: Die GRS dx2/dx1 ist das negative (rotes Minuszeichen!) umgekehrte Verhältnis der partiellen Grenznutzen (Haushaltstheorie) bzw. Grenzproduktivitäten (Produktionstherie). Demnach ist die positiv definierte GRS -dx2/dx1 das (positive) umgekehrte Verhältnis der partiellen Grenznutzen/Grenzproduktivitäten.

Ginevra345 schrieb:

Achsoooo.. Die wollen also einfach, dass man als Wert für die GRS was positives hat weils ja auch nur positive Güter gibt die man gegeneinander substituieren könnte.
Ich hatte das kurz in Betracht gezogen aber dann wieder verworfen weils aus meiner sicht sowieso klar war, dass wenn ich den Wert -1/5 habe damit gemeint ist dass an dieser Stelle 1 stück Gut A gegen 5 stück gut B ausgetauscht wird. Aber mit deiner bestätigung jetzt, akzeptier ich das einfach mal als richtige lösung und kann dieses leidige Thema endlich abschließen, danke!

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Bist mir beim Verfassen meines Beitrags dazwischengekommen. Also: Thema endlich abgehakt.

Ginevra345 schrieb:

Mit dem negativen Vorzeichen des Quotienten wird berücksichtigt, dass die Indifferenzkurve fallend verläuft, dh eine negative Steigung aufweist."

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Ich habe den Eindruck, dass dich diese zugegebenerweise nicht besonders glücklich gewählte Formulierung im Skript verwirrt. Das Verb "berücksichtigt" impliziert möglicherweise ein klein wenig, dass in die Gleichung extra oder bewusst ein Minuszeichen eingefügt wurde, um klar und deutlich herauszustellen dass die Indifferenzkurve fallend verläuft.
Eine bessere Formulierung wäre gewesen: "Das negative Vorzeichen weist darauf hin, dass....."

Jedenfalls wurde hier kein Minuszeichen eingefügt um irgendwas sicherzustellen, so wie du es oben beschrieben hast.

Ingo88 schrieb:

Demnach ist die positiv definierte GRS -dx2/dx1 das (positive) umgekehrte Verhältnis der partiellen Grenznutzen/Grenzproduktivitäten.

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Die GRS ist (grafisch betrachtet) die Steigung der Tangente am Berührungspunkt mit der Indifferenzkurve. Und diese Steigung bleibt negativ, egal ob du das Minuszeichen auf die andere Seite kickst. Ich halte die von dir gewählte Begrifflichkeit einer positiv definierten GRS für ziemlich verwirrend.

Hmmm aber stimmt das denn dann was ich jetzt dachte verstanden zu haben?

GRS=Steigung=negativer Wert

-GRS=positiver Wert -> um klarzumachen, dass es sich im Güter handelt die ausgetauscht werden, die ja nur positiv sein können?

Ginevra345 schrieb:

Hmmm aber stimmt das denn dann was ich jetzt dachte verstanden zu haben?

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Leider nur teilweise.

Ginevra345 schrieb:

GRS=Steigung=negativer Wert

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Die Steigung der Tangente an die Indifferenzkurve ist negativ, insofern kann man das so stehen lassen.

Ginevra345 schrieb:

-GRS=positiver Wert -> um klarzumachen, dass es sich im Güter handelt die ausgetauscht werden, die ja nur positiv sein können?

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Das ist, mit Verlaub, bestenfalls eine sehr eigenwillige Interpretation. So etwas kommt dabei heraus, wenn von einer positiv definierten GRS fabuliert wird. Guter Wille hin oder her.

Ich denke du hast dich an einem "Problem" festgebissen, das in Wirklichkeit gar keines ist. Das ist nicht weiter tragisch, das passiert jedem von uns hin und wieder.

Mach dir einfach noch einmal klar, warum eine Indifferenzkurze konvex verläuft und was die GRS nicht nur grafisch, sondern auch ökonomisch bedeutet. Ich würde dir auch empfehlen die GRS einmal selbständig formal-mathematisch herzuleiten. Ich bin zuversichtlich, dass sich im Anschluss dein aktuelles Problem mit dem Vorzeichen von selbst auflöst.

Es handelt sich hierbei um elementare Grundlagen. Wenn du die verstanden hast, profitierst du den Rest deines Studiums davon.

In der Zwischenzeit kannst du ja mal den betreffenden Lehrstuhl anschreiben und nachfragen, was der Blödsinn mit dem Minuszeichen auf der linken Seite soll. Ein bisschen Reflexion schadet denen nichts.

Bibo schrieb:

Leider nur teilweise.

Die Steigung der Tangente an die Indifferenzkurve ist negativ, insofern kann man das so stehen lassen.

Das ist, mit Verlaub, bestenfalls eine sehr eigenwillige Interpretation. So etwas kommt dabei heraus, wenn von einer positiv definierten GRS fabuliert wird. Guter Wille hin oder her.

Ich denke du hast dich an einem "Problem" festgebissen, das in Wirklichkeit gar keines ist. Das ist nicht weiter tragisch, das passiert jedem von uns hin und wieder.

Mach dir einfach noch einmal klar, warum eine Indifferenzkurze konvex verläuft und was die GRS nicht nur grafisch, sondern auch ökonomisch bedeutet. Ich würde dir auch empfehlen die GRS einmal selbständig formal-mathematisch herzuleiten. Ich bin zuversichtlich, dass sich im Anschluss dein aktuelles Problem mit dem Vorzeichen von selbst auflöst.

Es handelt sich hierbei um elementare Grundlagen. Wenn du die verstanden hast, profitierst du den Rest deines Studiums davon.

In der Zwischenzeit kannst du ja mal den betreffenden Lehrstuhl anschreiben und nachfragen, was der Blödsinn mit dem Minuszeichen auf der linken Seite soll. Ein bisschen Reflexion schadet denen nichts.

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Also, ich hab jetzt mal einen Zettel vollgeschrieben mit allem was ich glaube verstanden zu haben.

Und hier sind noch die Antworten auf deine restlichen Fragen, dann kannst du mir ja vielleicht sagen ob ich das deiner Meinung nach jetzt alles verstanden habe oder nicht :

Diese Art Indifferenzkurve verläuft konvex weil wir davon ausgehen, dass Gut 1 und Gut 2 nur limitational substituierbar sind, dh wenn der Haushalt ein Güterbündel hat in dem nur sehr wenig von Gut 1 enthalten ist, dafür aber umso mehr von Gut 2, ist er zwar immer noch glücklich mit der Situation, es macht Gut 1 aber wertvoller in seinen Augen, dh wenn er sich auf der Indifferenzkurve weiter nach unten bewegt (=noch mehr von seinem wertvollen Gut 1 ausgibt) möchte er als Ausgleich dazu umso mehr von Gut 2 bekommen, da er zb 10 Stück von Gut 2 benötigt um die Aufgabe eines Stücks Gut 1 wertmäßig auszugleichen.

Graphisch gesehen ist die GRS die Steigung der Indifferenzkurve am jeweils gefragten Punkt, weil die Austauschrate der beiden Güter der Steigung der an diesem Punkt angelegten Tangente entspricht = 1. Ableitung.

Ökonomisch gesehen ist die GRS das Austauschverhältnis der Grenznutzen der beiden Güter an einem Punkt. Grenznutzen deshalb weil es sich um winzig kleine Veränderungen handelt. Daher auch 1. Ableitung.

"Das ist, mit Verlaub, bestenfalls eine sehr eigenwillige Interpretation. So etwas kommt dabei heraus, wenn von einer positiv definierten GRS fabuliert wird. Guter Wille hin oder her."

Na gut. Da bin ich ja wohl ins Fettnäpfchen getreten. Von irgendwo habe ich in Erinnerung, dass man die GRS alternativ als -dx2/dx1 definierte und diese nach dieser Definition natürlich immer einen positiven statt einen negativen Wert annimmt. Aber was solls.

@Ginevra345 Deinen Ausführungen kann ich leider nicht ganz folgen. Woher stammt der Terminus "limitational substituierbar"? Habe ich da was verpasst? Die Begriffe Limitationalität und Substitutionalität sind mir nur als Antonyme geläufig. Limitationalität bedeutet, dass die Produktionsfaktoren (Produktionstheorie) in einem bestimmten Einsatzverhältnis stehen müssen. D.h. wird ausgehend von diesem Verhältnis die Einsatzmenge von nur einem Faktor erhöht, während die des anderen Faktors gleich bleibt, so tritt keine Outputerhöhung ein. Für diese müsste auch die Einsatzmenge des anderen Faktors erhöht werden. Die Isoquanten haben also einen L-förmigen Verlauf. Das lässt sich natürlich analog auf die Haushaltstheorie übertragen. Substitutionalität bedeutet, dass ein bestimmtes Nutzenniveau - ich bleib jetzt mal bei der Haushaltstheorie - bei Verringerung der Menge von X1 dadurch erhalten werden kann, dass die Menge von X2 in entsprechender Weise erhöht wird. Bei einem konvexen Verlauf der Indifferenzkurven ist dies aber (wie man graphisch ganz leicht erkennen) nicht unbeschränkt möglich. D.h. für jedes Nutzenniveau > 0 benötigt der Haushalt mindestens eine unendlich kleine Menge > 0 von beiden Gütern (periphere Substitutinalität). Bei linearem Verlauf der Indifferenzkurven sind die Güter an jeder Stelle in einem bestimmten Verhältnis substituierbar (totale Substitutionalität). Der Haushalt fragt hier entweder ausschließlich EIN Gut nach (nämlich das relativ! günstigere) oder er ist indifferent, weil das Preisverhältnis gleich dem Verhältnis der partiellen Grenznutzen ist.
Gut 1 wird auf der Abszisse, Gut 2 auf der Ordinate abgetragen. Wenn in einem Güterbündel x1 sehr kein und x2 entsprechend groß ist und man sich ausgehend von diesem Punkt auf der Indifferenzkurve nach unten bewegt, wird X2 durch X1 substituiert, wobei (konvexer Verlauf der Ind.kurve) anfangs nur eine kleine Menge von X1 nötig ist, um den Verlust von einer Menge X2 zu kompensieren, und diese Substiututionsmengen umso größer werden, je weiter man sich auf der Ind.kurve nach unten bewegt. D.h. während dem Haushalt im oberen Bereich der Ind.kurve eine zusätzliche Einheit von X1 im Verhältnis zu X2 einen sehr großen Nutzen stiftet, nimmt dieses Verhätnis, wenn man sich auf der Indifferenzkurve nach unten bewegt, immer weiter ab.

"Ökonomisch gesehen ist die GRS das Austauschverhältnis der Grenznutzen der beiden Güter an einem Punkt. Grenznutzen deshalb weil es sich um winzig kleine Veränderungen handelt. Daher auch 1. Ableitung."

Diesen Satz halte ich für unglücklich formuliert. Jedenfalls ist für mich nicht sicher erkennbar, ob du richtig oder falsch gedacht hast. Merke und mache dir klar: Die GRS (des Gutes X2 durch das Gut X1) ist das negative umgekehrte Verhälnis der partiellen Grenznutzen. Sei an einem bestimmten Punkt der partielle Grenznutzen von X1 = 3 (also delU/delx1=3) und delU/delx2=1, so beträgt die GRS = dx2/dx1 = -3 an demselben Punkt. D.h. weil eine zusätzliche (marginale) Einheit von X1 dreimal so viel Nutzen stiftet wie eine zusätzliche (marginale) Einheit von X2, ist der Haushalt bereit, auf 3 Einheiten von X2 zu verzichten, wenn diese um 1 Einheit von X1 kompensiert werden. Graphische Veranschaulichung: 3 Einheiten nach unten (X2) und 1 Einheit nach rechts (X1), also Höhenunterschied = -3 und Horizontalunterschied = 1. Die Steigung ist bekanntlich der Quotient aus Höhen- und Horizontalunterschied - also dx2/dx1 = -3.

So, jetzt mal abwarten, was Bibo dazu sagt...

Die Debatte geht in die nächste Runde haha, ich muss ja zugeben ein klein bisschen bereu ich es nach diesem Vorzeichen gefragt zu haben :P

Ansonsten, jep meinte ich genauso @Ingo88 danke :)

Ignorier das limitational substituierbar, ich dachte gelesen zu haben, dass das so heißt wenn man die Güter zwar untereinander substituieren kann aber ein Gut nicht vollständig durch das amdere ausgleichen kann wie bei der totalen Substitution.